July 2, 2017 - Shawn Zhong

第9讲特殊矩阵

$9.1 对角矩阵 • 定义 ○ 除了主对角线以外都为零的矩阵 ○ a_ij=0, i≠j ○ A=(■8(a_11&0&…&0@0&a_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn )) • 性质 ○ 零矩阵是对角矩阵 ○ 同阶对角矩阵之和仍为对角矩阵 § A+B=(■8(a_11&0&…&0@0&a_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn )) ○ 对角矩阵数乘后仍为对角矩阵 § kA=(■8(〖ka〗_11&0&…&0@0&〖ka〗_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&〖ka〗_nn )) ○ 同阶对角矩阵相乘后仍为对角矩阵 § AB=(■8(a_11 b_11&0&…&0@0&a_22 b_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn b_nn )) ○ 对角矩阵转置后仍为本身 § A为对角矩阵⇒A^T=A § A^T=A⇏A为对角矩阵 § A^T=A⇒A为对称矩阵 9.2 单位矩阵 • 定义 ○ 一般用 I 或 E 表示 ○ a_ij={█(1, i=j@0, i≠j)┤ ○ I=(■8(1&0&…&0@0&1&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1) • 性质 ○ 原矩阵右乘单位矩阵仍为本身 § I_m A_(m×n)=A_(m×n) § (■8(1&0&…&0@0&1&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1))(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn ))=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn )) ○ 原矩阵左乘单位矩阵仍为本身 § A_(m×n) I_n=A_(m×n) § (■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn ))(■8(1&0&…&0@0&1&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1))=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn )) ○ 规定 A^0=I 9.3 数量矩阵 • 定义 ○ a_ij={█(a, i=j@0, i≠j)┤ ○ A=(■8(a&0&…&0@0&a&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a)) • 性质 ○ 可以表示为单位矩阵数乘 § A=aI ○ 与数量矩阵相乘等价于原矩阵的数乘 § AB=aB § BA=aB ○ 与任意方阵可交换 9.4 三角形矩阵 • 上三角矩阵 ○ 主对角线左下方全为零的矩阵 ○ a_ij=0, i>j ○ A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@0&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn )) • 下三角矩阵 ○ 主对角线右上方全为零的矩阵 ○ a_ij=0, i<j ○ A=(■8(a_11&0&…&0@a_21&a_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) • 性质 ○ 若 A 为上(下)三角矩阵，则 kA 仍为上(下)三角矩阵 § kA=(■8(〖ka〗_11&ka_12&…&〖ka〗_1n@0&ka_22&…&ka_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&ka_nn )) ○ 若 A, B 为同阶上(下)三角矩阵，则 A+B 仍为上(下)三角矩阵 § A+B=(■8(a_11+b_11&a_12+b_12&…&a_1n+b_1n@0&a_22+b_22&…&a_2n+b_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn+b_nn )) ○ 若 A, B 为同阶上(下)三角矩阵，则 AB 仍为上(下)三角矩阵 § 设 A=(a_ij )_(n×n) (a_ij=0,i>j) § B=(b_ij )_(n×n) (b_ij=0,i>j) § C=AB=(c_ij )_(n×n) § 要证 c_ij=0,i>j § 根据定义，c_ij=∑_(k=1)^n▒〖a_ik b_kj 〗 § 对于任意 k，i>k 和 k>j 至少有一个满足 § 若 i>k, 则 a_ik=0 § 若 k>j, 则 b_kj=0 § ∴ c_ij=∑_(k=1)^n▒〖a_ik b_kj 〗=0 ,i>j § 即 C=AB 仍为上三角矩阵 ∎ 9.5 对称矩阵 • 定义 ○ A^T=A ○ A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_12&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@a_1n&a_2n&…&a_nn )) ○ A=(a_ij )_(n×n), A^T=(b_ij )_(n×n), b_ij=a_ji • 性质 ○ 若 A 对称矩阵，则 kA 仍为对称矩阵 § kA=(■8(ka_11&ka_12&…&ka_1n@ka_12&ka_22&…&ka_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@ka_1n&ka_2n&…&ka_nn )) ○ 若 A, B 为同阶对称矩阵，则 A+B 仍为对称矩阵 § A+B=(■8(a_11+b_11&a_12+b_12&…&a_1n+b_1n@a_12+b_12&a_22+b_22&…&a_2n+b_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@a_1n+b_1n&a_2n+b_2n&…&a_nn+b_nn )) ○ 若 A, B 为同阶对称矩阵，则 AB 不一定为对称矩阵 § 反例：A=(■8(0&−1@−1&1)),B=(■8(1&1@1&1))⇒AB=(■8(−1&−1@0&0 ○ AB 对称⇔ 可交换 § (AB)^T=B^T A^T=BA=┴若可交换 AB ○ 对于任意 A_(m×n), A^T A 与 AA^T 对称 § (A^T A)^T=A^T (A^T )^T=A^T A § (AA^T )^T=(A^T )^T A^T=AA^T 9.6 反对称矩阵 • 定义 ○ A^T=−A ○ A=(■8(0&a_12&…&a_1n@〖−a〗_12&0&…&a_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@〖−a〗_1n&−a_2n&…&0)) ○ A=(a_ij )_(n×n), A^T=(b_ij )_(n×n), b_ij=−a_ji • 性质 ○ 若 A 是奇数阶反对称矩阵，则 |A|=0 § 证明略 ○ 对于任意方阵 A， A+A^T 是对称方阵，A−A^T 是反对称矩阵 § (A+A^T )^T=A^T+(A^T )^T=A^T+A=A+A^T § (A−A^T )^T=A^T−(A^T )^T=A^T−A ○ 任意方阵可以写成对称矩阵与反对称矩阵之和 § A=1/2 (A+A^T )+1/2(A−A^T)$

第10讲矩阵的逆

$10.1 逆矩阵的概念 • 引例：线性方程组 ○ {█(a_11 x_1+a_12 x_2+…+a_1n x_n=b_1@a_21 x_1+a_22 x_2+…+a_2n x_n=b_2@⋮@a_n1 x_1+a_n2 x_2+…+a_nn x_n=b_n )┤ ○ A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )), x ⃗=(■8(x_1@⋮@x_n )), b ⃗=(■8(b_1@⋮@b_n )) ○ Ax ⃗=b ⃗ • 定义 ○ 对于方阵 A，若存在方阵 B，使得 AB=BA=I ○ 则称 A 可逆，B 称为 A 的逆矩阵，一般表示为 A^(−1) ○ 注：定义并没有说明 A 的逆矩阵是否一定存在 • 性质 ○ 如果逆矩阵存在，则唯一 § 假设 B 与 C 都是 A 的逆矩阵，即 AB=BA=I , AC=CA=I § B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C § 即 B=C∎ ○ A,B 互逆 § AB=BA=I ○ 单位矩阵的逆 § I_n^(−1)=I_n § I_n I_n=I_n ○ 对角矩阵的逆 § A=(■8(a_1&0&…&0@0&a_2&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_n )), a_i≠0 (i=1,2…n) § A^(−1)=(■8(1/a_1 &0&…&0@0&1/a_2 &…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1/a_n )) • 例子：求 (■8(1&2@0&1)) 的逆矩阵 ○ A=(■8(1&2@0&1)), 设 B=A^(−1)=(■8(a&b@c&d)) ○ AB=(■8(a+2c&b+2d@c&d))=I=(■8(1&0@0&1)) ○ ⇒{█(a+2c=1@b+2d=0@c=0@d=1)⇒{█(a=1@b=−2@c=0@d=1)┤⇒B=(■8(1&−2@0&1))┤ ○ 检验 BA=(■8(1&0@0&1))=I ○ ∴AB=BA=I ○ 即(■8(1&2@0&1))^(−1)=(■8(1&−2@0&1)) 10.2 用伴随矩阵求逆 • 定义：非奇异（非退化） ○ 一个方阵的行列式不为零 ○ |A_(n×n) |≠0 • 定义：代数余子式矩阵（Cofactor） ○ 原矩阵 ○ 代数余子式矩阵 ○ A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) ⇒┴代数余子式矩阵 C=(■8(A_11&A_12&…&A_1n@A_21&A_22&…&A_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@A_n1&A_n2&…&A_nn )) • 伴随矩阵 A^∗ ○ 定义 § A^∗=C^T=(■8(A_11&A_21&…&A_n1@A_12&A_22&…&A_n2@⋮&⋮&⋮&⋮@A_1n&A_2n&…&A_nn )) ○ 例子 § A=(■8(1&1&0@0&1&1@0&0&1)) ⇒┴伴随矩阵 A^∗=(■8(1&−1&1@0&1&−1@0&0&1)) ○ 性质 § 〖AA〗^∗=A^∗ A=(■8(|A|&0&…&0@0&|A|&…&0@⋮&⋮&⋮&⋮@0&0&…&|A| ))=|A|I • 定理1 ○ |A|≠0⇔A 可逆 ○ 证明充分性 § ∵|A|≠0 § ∴A1/|A| A^∗=I, 1/|A| A^∗ A=I § 即 A 可逆，逆矩阵为 1/|A| A^∗ ∎ ○ 证明必要性 § 存在 AB=BA=I § |AB|=|I| § |A||B|=1 § |A|≠0 ∎ • 例1：求 (■8(1&1&0@0&1&1@0&0&1)) 的逆矩阵 ○ A=(■8(1&1&0@0&1&1@0&0&1)) ⇒┴伴随矩阵 A^∗=(■8(1&−1&1@0&1&−1@0&0&1)) ○ |A|=1≠0⇒A可逆 ○ A^(−1)=1/|A| A^∗=(■8(1&−1&1@0&1&−1@0&0&1)) • 例2：求 (■8(a_1&0&…&0@0&a_2&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_n )) a_i≠0 (i=1,2…n) 的逆矩阵 ○ |A|=a_1 a_2…a_n≠0 ○ A^∗=(■8(a_2 a_3…a_n&0&…&0@0&a_1 a_3…a_n&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&〖a_1 a_2…a〗_(n−1) )) ○ A^(−1)=1/|A| A^∗=(■8(1/a_1 &0&…&0@0&1/a_2 &…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1/a_n )) • 定理2 ○ AB=I⇔BA=I ○ 证明 § ∵AB=I § ∴|AB|=|I|=1 § ∴|A||B|=1 § ∴|A|≠0 § ∴B=IB=(A^(−1) A)B=A^(−1) (AB)=A^(−1) I=A^(−1) § 根据逆矩阵的性质，有 BA=I • 例3：已知〖aA〗^2+bA+cI=0 (c≠0)，问 A 是否可逆 ○ 法1：行列式不等于零 § 〖aA〗^2+bA=−cI § ⇒A(aA+bI)=−cI § ⇒|A(aA+bI)|=|−cI| § ⇒|A||aA+bI|=|−cI|=(−c)^n |I|=(−c)^n≠0 § ⇒|A|≠0 即A可逆∎ ○ 法2：求出逆矩阵 § 〖aA〗^2+bA=−cI § ⇒A(aA+bI)=−cI § ⇒A(−a/c A+b/c I)=I § ⇒A^(−1)=(−a/c A+b/c I) 即A可逆∎ 10.3 逆矩阵的性质 1. (A^(−1) )^(−1)=A ○ 证明：A^(−1) A=I 2. (kA)^(−1)=1/k A^(−1) (其中k≠0) ○ 证明： 3. (A^T )^(−1)=(A^(−1) )^T ○ 证明：A^T (A^(−1) )^T=(A^(−1) A)^T=I^T=I 4. (AB)^(−1)=B^(−1) A^(−1) ○ 证明：AB(B^(−1) A^(−1) )=A(〖BB〗^(−1) ) A^(−1)=AIA^(−1)=AA^(−1)=I ○ 推广：(ABC)^(−1)=C^(−1) B^(−1) A^(−1) 5. (A^k )^(−1)=(A^(−1) )^k =┴def A^(−k) ○ 证明 § A^k (A^(−1) )^k § =(AA…A)┬共k个 (A^(−1) A^(−1)…A^(−1))┬共k个 § =AA…(A A^(−1) ) A^(−1)…A^(−1) § =AA…IA^(−1)…A^(−1)=…=I 6. |A^(−1) |=|A|^(−1) ○ 证明 § 〖AA〗^(−1)=I § |A||A^(−1) |=1 § |A^(−1) |=1/|A| § 即|A^(−1) |=|A|^(−1)∎ ○ 推广 § |A^(−k) |=|(A^k )^(−1) |=|A^k |^(−1)=|A|^(−k) 7. AB=AC,且 A 可逆⇒则 B=C ○ 证明 § AB=AC § ⇒A^(−1) (AB)=A^(−1) (AC) § ⇒(A^(−1) A)B=(A^(−1) A)C § ⇒IB=IC § ⇒B=C ○ 推广 § AB=0, 且 A 可逆⇒B=0 10.4 伴随矩阵的性质 1. 〖AA〗^∗=A^∗ A=|A|I ○ 证明略 2. A^(−1)=1/|A| A^∗, A^∗=|A| A^(−1) (|A|≠0) ○ 证明略 3. (A^∗ )^(−1)=1/|A| A (|A|≠0) ○ 证明略 4. |A^∗ |=|A|^(n−1) ○ 证明：当 n=1 时 § 规定 |A^∗ |=A^∗=1 ○ 若 |A|≠0，要证 |A^∗ |=|A|^(n−1) § 〖|AA〗^∗ |=|(|A|I)| § |A||A^∗ |=|A|^n |I|=|A|^n § |A^∗ |=|A|^(n−1) ○ 若 |A|=0，要证 |A^∗ |=|A|^(n−1)=0 § 反证：假设 |A^∗ |≠0，即 A^∗ 可逆 § AA^∗=|A|I § AA^∗ (A^∗ )^(−1)=|A|I(A^∗ )^(−1) § A=0 § A^∗=0 与 |A|=0 矛盾，故 |A^∗ |=0 ○ 综上所述 |A^∗ |=|A|^(n−1) 5. (A^∗ )^∗=|A|^(n−2) A ○ 只证 |A|≠0 时 § (A^∗ )^∗=|A^∗ | (A^∗ )^(−1)=|A|^(n−1) 1/|A| A=|A|^(n−2) A 6. (kA)^∗=k^(n−1) A^∗ ○ 观察到 A^∗ 中每个 n−1 阶的代数余子式都乘以 k^(n−1) 7. (A^T )^∗=(A^∗ )^T ○ 证明略 8. (AB)^∗=B^∗ A^∗ ○ 只证 |A|≠0, |B|≠0 时 § (AB)^∗=|AB| (AB)^(−1)=|A||B| B^(−1) A^(−1)=(|B| B^(−1) )(|A| A^(−1) )=B^∗ A^∗ ○ 推广 § (ABC)^∗=C^∗ B^∗ A^∗ 9. (A^(−1) )^∗=(A^∗ )^(−1) ○ 证明 § 左=(A^(−1) )^∗=|A^(−1) | (A^(−1) )^(−1)=1/|A| A § 右=(A^∗ )^(−1)=(|A| A^(−1) )^(−1)=1/|A| A § 等式成立 ∎ ○ 推广 § (A^(−k) )^∗=(A^∗ )^(−k) 10. (A^k )^∗=(A^∗ )^k ○ 证明略$

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