July 12, 2017 - Shawn Zhong

$21.1 正交向量组 • 单位化 ○ α ⃗/‖■8(α ⃗ )‖ • 正交（垂直） ○ α ⃗⊥β ⃗⇔a ⃗⋅β ⃗=0⇔α ⃗^T β ⃗=0 • 正交向量组 ○ 向量非零 ○ 两两正交 • 定理 ○ 内容 § 正交向量组线性无关 ○ 证明 § 假设 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 正交 § 构造 k_1 (α_1 ) ⃗+…k_s (α_s ) ⃗=0 § (α_1 ) ⃗ (k_1 (α_1 ) ⃗+…k_s (α_s ) ⃗ )=0 § k_1 (α_1 ) ⃗^2+0+…+0=0 § ∵(α_1 ) ⃗^2≠0 § ∴k_1=0 § 同理 k_i=0 (i=1,2…s) 21.2 施密特正交化 • 两个向量施密特正交化（几何理解） ○ 假设 {(α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗} 施密特正交化得到 {(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗} ○ 则 {█((β_1 ) ⃗=(α_1 ) ⃗@(β_2 ) ⃗=(α_2 ) ⃗−γ ⃗ )┤ ○ ∵(α_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗=‖■8((α_1 ) ⃗ )‖‖■8((α_2 ) ⃗ )‖ cos⁡θ=‖■8((α_1 ) ⃗ )‖‖■8(γ ⃗ )‖ ○ ∴‖■8(γ ⃗ )‖=((α_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗)/‖■8((α_1 ) ⃗ )‖ ○ ⇒■8(γ ⃗ )=‖■8(■8(γ ⃗ ))‖ (α_1 ) ⃗/‖■8((α_1 ) ⃗ )‖ =((α_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗)/‖■8((α_1 ) ⃗ )‖^2 (α_1 ) ⃗=((α_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗)/((α_1 ) ⃗⋅(α_1 ) ⃗ ) (α_1 ) ⃗ ○ {█((β_1 ) ⃗=(α_1 ) ⃗@(β_2 ) ⃗=(α_2 ) ⃗−γ ⃗=(α_2 ) ⃗−((α_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗)/((α_1 ) ⃗⋅(α_1 ) ⃗ ) (α_1 ) ⃗ )┤ ○ ⇒(β_2 ) ⃗=(α_2 ) ⃗−((α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗ ○ 证明 {(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗} 正交 ○ (β_1 ) ⃗⋅(β_2 ) ⃗=(β_1 ) ⃗⋅((α_2 ) ⃗−((α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗ )=(β_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗−(α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗=0 • 施密特正交化过程 ○ 假设 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 线性无关 ○ (β_1 ) ⃗=(α_1 ) ⃗ ○ (β_2 ) ⃗=(α_2 ) ⃗−((α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗ ○ (β_3 ) ⃗=(α_3 ) ⃗−((α_3 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗−((α_3 ) ⃗⋅(β_2 ) ⃗)/((β_2 ) ⃗⋅(β_2 ) ⃗ ) (β_2 ) ⃗ ○ ⋮ ○ (β_i ) ⃗=(α_i ) ⃗−∑_(j=1)^(i−1)▒〖((α_i ) ⃗⋅(β_j ) ⃗)/((β_j ) ⃗⋅(β_j ) ⃗ ) (β_j ) ⃗ 〗 ○ ⋮ ○ (β_s ) ⃗=(α_3 ) ⃗−((α_s ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗…−((α_s ) ⃗⋅(β_(s−1) ) ⃗)/((β_(s−1) ) ⃗⋅(β_(s−1) ) ⃗ ) (β_(s−1) ) ⃗ • (β_i ) ⃗ 前的系数是如何求得的：待定系数法 ○ 以 (β_2 ) ⃗ 为例 § (β_2 ) ⃗=(α_2 ) ⃗−k(β_1 ) ⃗ § ∵(β_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗=(α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗−k(β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗=0 § ∴k=((α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) ○ 以 (β_3 ) ⃗ 为例 § {█((β_3 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗=0@(β_3 ) ⃗⋅(β_2 ) ⃗=0)┤⇒… • 单位正交向量组 ○ 正交化+单位化 • 例：(α_1 ) ⃗=(■8(1@1@1@1)),(α_2 ) ⃗=(■8(3@3@−1@−1)),(α_3 ) ⃗=(■8(−2@0@6@8)) ○ 正交向量组 {(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗,(β_3 ) ⃗} ○ (β_1 ) ⃗=(α_1 ) ⃗=(■8(1@1@1@1)) ○ (β_2 ) ⃗=(α_2 ) ⃗−((α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗=(■8(3@3@−1@−1))−4/4 (■8(1@1@1@1))=(■8(2@2@−2@−2)) ○ (β_3 ) ⃗=(α_3 ) ⃗−((α_3 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗−((α_3 ) ⃗⋅(β_2 ) ⃗)/((β_2 ) ⃗⋅(β_2 ) ⃗ ) (β_2 ) ⃗=(■8(−2@0@6@8))−12/4 (■8(1@1@1@1))−(−32)/16 (■8(2@2@−2@−2))=(■8(−1@1@−1@1)) ○ 单位正交向量组 {(γ_1 ) ⃗,(γ_2 ) ⃗,(γ_3 ) ⃗ } ○ (γ_1 ) ⃗=(β_1 ) ⃗/‖■8((β_1 ) ⃗ )‖ =(1/2,1/2,1/2,1/2)^T ○ (γ_2 ) ⃗=(β_2 ) ⃗/‖■8((β_2 ) ⃗ )‖ =(1/2,1/2,−1/2,−1/2)^T ○ (γ_3 ) ⃗=(β_3 ) ⃗/‖■8((β_3 ) ⃗ )‖ =(−1/2,1/2,−1/2,1/2)^T 21.3 正交矩阵 • 定义 ○ 对于实矩阵 Q_(n×n) ○ 若 Q^T Q=I⇔〖QQ〗^T=I⇔Q^T=Q^(−1) ○ 则称其为正交矩阵 • 例子：Q=(■8(cos⁡θ&−sin⁡θ@sin⁡θ&cos⁡θ )) ○ 〖QQ〗^T=(■8(cos⁡θ&−sin⁡θ@sin⁡θ&cos⁡θ ))(■8(cos⁡θ&sin⁡θ@〖−sin〗⁡θ&cos⁡θ ))=(■8(1&0@0&1))=I • 性质1：|Q|=1 or −1⇔|Q|^2=1 ○ 〖QQ〗^T=I ○ ⇒|〖QQ〗^T |=|I| ○ ⇒|Q||Q^T |=|Q|^2=1 ○ ⇒|Q|=1 or −1 • 性质2：若 Q 是正交矩阵，则 Q^T=Q^(−1) 也是正交矩阵 ○ 证明略 • 性质3：若 P,Q 都是正交矩阵，则 PQ 也是正交矩阵 ○ (PQ)^T (PQ)=Q^T P^T PQ=Q^T Q=I • 定理：Q 是正交矩阵 ⇔ 行(列)向量组是单位正交向量组 ○ Q=((α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ) ○ Q^T Q=(■8((α_1 ) ⃗^T@(α_2 ) ⃗^T@⋮@(α_n ) ⃗^T ))((α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )=(■8((α_1 ) ⃗^T (α_1 ) ⃗&(α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗&…&(α_1 ) ⃗^T (α_n ) ⃗@(α_2 ) ⃗^T (α_1 ) ⃗&(α_2 ) ⃗^T (α_1 ) ⃗&…&(α_2 ) ⃗^T (α_n ) ⃗@…&…&…&…@(α_n ) ⃗^T (α_1 ) ⃗&(α_n ) ⃗^T (α_2 ) ⃗&…&(α_n ) ⃗^T (α_n ) ⃗ ))=I ○ ⇒{█((α_i ) ⃗^T (α_j ) ⃗=1 (i=j)@(α_i ) ⃗^T (α_j ) ⃗=0 (i≠j))┤⇒{█(单位@正交)┤ 21.4 实对称矩阵 • 定义 ○ 若矩阵 A=(a_ij )_(n×n)，满足 {█(a_ij∈RA^T=A)┤，则称其为实对称矩阵 • 定理1：实对称矩阵的特征值是实数 ○ 证明略 • 定理2：实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交 ○ 已知 A(α_1 ) ⃗=λ_1 (α_1 ) ⃗, A(α_2 ) ⃗=λ_2 (α_2 ) ⃗ ○ 要证 (α_1 ) ⃗⊥(α_2 ) ⃗⇔(α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗=0⇔(α_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗=0 ○ ○ 又因为 (α_1 ) ⃗^T A(α_2 ) ⃗=(α_1 ) ⃗^T A^T (α_2 ) ⃗=(A(α_1 ) ⃗ )^T (α_2 ) ⃗=(λ_1 (α_1 ) ⃗ )^T (α_2 ) ⃗=λ_1 (α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗ ○ 即 λ_1 (α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗=λ_2 (α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗ ○ 又因为 λ_1≠λ_2 ○ 故 (α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗=0 • 定理3：实对称矩阵 A 一定可对角化，且存在正交矩阵 Q，使得 Q^(−1) AQ=Λ ○ 证明略 • 例：A=(■8(2&2&−2@2&5&−4@−2&−4&5)) ○ |λI−A|=|■8(λ−2&−2&2@−2&λ−5&4@2&4&λ−5)|=(λ−1)^2 (λ−10)⇒λ_1=λ_2=1, λ_3=10 ○ 当 λ_1=λ_2=1 时 ○ {█((α_1 ) ⃗=(−2,1,0)^T@(α_2 ) ⃗=(−2,0,1)^T )┤ ⇒┴正交化 {█((β_1 ) ⃗=(−2,1,0)^T@(β_2 ) ⃗=(2/5,4/5,1)^T )┤ ⇒┴单位化 {█((γ_1 ) ⃗=(−2/√5,1/√5,0)^T@(γ_2 ) ⃗=(2/(3√5),4/(3√5),5/(3√5))^T )┤ ○ 当 λ_3=10 时 ○ (α_3 ) ⃗=(1,2,−2)^T ⇒┴单位化 (γ_3 ) ⃗=(1/2,2/3,−2/3)^T ○ 故 Q=(■8(−2/√5&2/(3√5)&1/2@1/√5&4/(3√5)&2/3@0&5/(3√5)&−2/3))$

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第21讲实对称矩阵

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