July 2017 - Page 2 of 5 - Shawn Zhong

第12讲矩阵的初等变换

$12.1 初等变换 1. 交换两行(列) ○ (■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 )) →┴(r_1↔r_2 ) (■8(a_21&a_22&a_23@a_11&a_12&a_13 )) 2. 用一非零的数 k 乘以某一行(列) ○ (■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 )) →┴(kr_1 ) (■8(ka_11&ka_12&ka_13@a_21&a_22&a_23 )) 3. 用一行(列)的 l 被加到另一行(列) ○ (■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 )) →┴(r_2+lr_1 ) (■8(a_11&a_12&a_13@a_21+la_11&a_22+la_12&a_23+la_13 )) • 初等行变换可以看作对线性方程组 {█(a_11 x_1+a_12 x_2+…+a_1n x_n=b_1@a_21 x_1+a_22 x_2+…+a_2n x_n=b_2@⋮@a_n1 x_1+a_n2 x_2+…+a_nn x_n=b_n )┤ 的操作 12.2 初等矩阵 • 定义 ○ 单位矩阵 I 经过一次初等变换得到的矩阵 • 三类初等矩阵 ○ I=(■(1&&@&⋱&@&&1)) →┴(交换两行(列)) I(ij)=(■(1&&&&&&@&⋱&&&&&@&&0&…&1&&@&&⋮&⋱&⋮&&@&&1&…&0&&@&&&&&⋱&@&&&&&&1)) ○ I=(■(1&&@&⋱&@&&1)) →┴(将一非零数 k 乘到第 i 行) I(i(k))=(■(1&&&&@&⋱&&&@&&k&&@&&&⋱&@&&&&1)) ○ I=(■(1&&@&⋱&@&&1)) →┴(将第 j 行的 l 倍加到第 i 行) I(ij(l))=(■(1&&&&&&@&⋱&&&&&@&&1&…&l&&@&&&⋱&⋮&&@&&&&1&&@&&&&&⋱&@&&&&&&1)) • 练习：判断初等矩阵 ○ (■8(1&0&0@0&2&0@0&0&1)) 是 ○ (■8(1&0&0@0&2&0@0&0&3)) 否 ○ (■8(0&0&1@0&1&0@1&0&0)) 是 ○ (■8(0&1&0@0&0&1@1&0&0)) 否 ○ (■8(1&2&0@0&1&0@0&0&1)) 是 • 定理 ○ 对 A_(m×n) 做初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵 I(ij)_m, I(i(k))_m, I(ij(k))_m ○ 对 A_(m×n) 做初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵 I(ij)_n, I(i(k))_n, I(ij(k))_n • 练习 ○ A=(■8(A_1@A_2@A_3 )) ○ 第一类变换 § I(ij)=I(1,2)=(■8(0&1&0@1&0&0@0&0&1)) § I(1,2)A=(■8(0&1&0@1&0&0@0&0&1))(■8(A_1@A_2@A_3 ))=(■8(A_2@A_1@A_3 )) ○ 第二类变换 § I(i(k))=I(1(k))=(■8(k&0&0@0&1&0@0&0&1)) § I(1(k))A=(■8(k&0&0@0&1&0@0&0&1))(■8(A_1@A_2@A_3 ))=(■8(〖kA〗_1@A_2@A_3 )) ○ 第三类变换 § I(ij(k))=I(2,1(l))=(■8(1&0&0@l&1&0@0&0&1)) § I(2,1(l))A=(■8(1&0&0@l&1&0@0&0&1))(■8(A_1@A_2@A_3 ))=(lA_1+■8(A_1@A_2@A_3 )) • 例题：已知 |A_(3×3) |=3，B 是 A 交换 1,2 行得到的，求 |BA^∗ | ○ B=I(12)A=(■8(0&1&0@1&0&0@0&0&1))A ○ |BA^∗ |=|I(12)AA^∗ |=|(I(12)|A|I)|=|A|^3 |I(12)||I|=3^3×(−1)×1 • 性质：初等矩阵都是可逆的 ○ I(ij)I(ij)=I ○ I(i(k^(−1)))I(i(k))=I ○ I(ij(−l))I(ij(l))=I 12.3 矩阵等价 • 定义 ○ 矩阵 A 与 B 等价 ⇔B 可由 A 经过一系列初等变换的得到 • 等价关系的三个性质 ○ 反身性：A 与 A 等价 § 矩阵等价显然满足反身性 ○ 对称性：A 与 B 等价⇔B 与 A 等价 § B=P_1…P_s 〖AQ〗_1…Q_t § ⇒A=P_s^(−1)…P_1^(−1) BQ_t^(−1)…Q_1^(−1) § 故矩阵等价满足对称性 ○ 传递性：若 A 与 B 等价，且 B 与 C 等价，则 A 与 C 等价 § {█(B=P_1…P_s 〖AQ〗_1…Q_t@C=R_1…R_l 〖BS〗_1…S_m )┤ § ⇒C=R_1…R_l 〖P_1…P_s 〖AQ〗_1…Q_t S〗_1…S_m § 故矩阵等价满足传递性 • 等价标准形 ○ 定义 § A_(m×n) 的等价标准形 D=(■8(I_r&0_(r×(n−r))@0_((m−r)×r)&0_((m−r)×(n−r)) )) ○ 例1：(■8(1&0&1@2&0&−1@3&1&2))_(3×3) 的等价标准形 § A=(■8(1&0&1@2&0&−1@3&1&2)) (→┴(r_2−2r_1 ))┬(r_3−3r_1 ) (■8(1&0&1@0&0&−3@0&1&−1)) →┴(r_2↔r_3 ) (■8(1&0&1@0&1&−1@0&0&−3)) →┴(r_3×(−1/3) ) (■8(1&0&1@0&1&−1@0&0&1)) (→┴(r_1−r_3 ))┬(r_2+r_3 ) (■8(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) ○ 例2：2×3 矩阵所有可能的等价标准形 § (■8(0&0&0@0&0&0)) § (■8(1&0&0@0&0&0)) § (■8(1&0&0@0&1&0)) 12.4 关于初等变换的重要定理 • 定理1：可逆矩阵 A 的等价标准形 D=I ○ D=P_1…P_s 〖AQ〗_1…Q_t ○ {█(|A|≠0@|P_i |≠0@|Q_j |≠0)┤⇒|D|=|P_1 |…|P_s ||A||Q_1 |…|Q_t |≠0 ○ ∴D=I • 定理2：可逆矩阵 A 可以写成一系列初等矩阵的乘积 ○ A=P_1…P_s IQ_1…Q_t=P_1…P_s Q_1…Q_t • 推论1：A 与 B 等价⇔B=PAQ (其中 P,Q 可逆) ○ B=P_1…P_s 〖AQ〗_1…Q_t=PAQ, 其中 {█(P=P_1…P_s@Q=Q_1…Q_t )┤ • 推论2：可逆矩阵 A 只需初等行变换就可以化成 D=I ○ A=P_1…P_s=P_1…P_s I ○ ⇒P_s^(−1)…P_2^(−1) P_1^(−1) A=I 12.5 用初等变换求逆 • 思路 ○ 对于可逆矩阵 A , 根据推论2 ○ {█(P_1…P_s A=I@A^(−1)=P_1…P_s I)⇒{█(对 A 做一系列初等行变换可以得到 I@对 I 做同样变换可以得到 A^(−1) )┤┤ ○ 即分块矩阵 (■8(A&I))_(n×2n) 可以通过一系列初等行变换得到 (■8(I&A^(−1) ))_(n×2n) • 例：A=(■8(1&0&1@2&0&−1@3&1&2)), 求 A^(−1) ○ (■8(A&I))_(n×2n)=(■8(1&0&1&1&0&0@2&0&−1&0&1&0@3&1&2&0&0&1))_(3×6)→(■8(1&0&1&1&0&0@0&0&−3&−2&1&0@0&1&−1&−3&0&1))→(■8(1&0&1&1&0&0@0&1&−1&−3&0&1@0&0&−3&−2&1&0))→(■8(1&0&1&1&0&0@0&1&−1&−3&0&1@0&0&1&2/3&−1/3&0))→(■8(1&0&1&1&0&0@0&1&0&−7/3&−1/3&1@0&0&1&2/3&−1/3&0))→(■8(1&0&0&1/3&1/3&0@0&1&0&−7/3&−1/3&1@0&0&1&2/3&−1/3&0))=(■8(I&A^(−1) )) ○ ⇒A^(−1)=(■8(1/3&1/3&0@−7/3&−1/3&1@2/3&−1/3&0))$

第13讲矩阵的秩

$13.1 秩的概念 • 定义 ○ 非零子式的最高阶数，记作 r(A) ○ {█(存在 r 阶子式非零@所有 r+1 阶子式都为零)┤⇒{█(r(A)≥r@r(A)≤r)┤⇒矩阵 A 的秩为 r ○ 若 A=0, 则 r(A)=0 ○ 0≤r(A_(m×n) )≤min⁡(m,n) • 例子：A=(■8(1&2&3&4&5@0&6&7&8&9@0&0&0&0&0))⇒r(A)=2 • 满秩 ○ 方阵满秩 § r(A_(n×n) )=n ○ 行满秩 § r(A_(m×n) )=m (m<n) ○ 列满秩 § r(A_(m×n) )=n (n<m) ○ 性质：A 满秩⇔|A|≠0⇔A可逆⇔非奇异⇔非退化 § r(A)=n § ⇒存在 n 阶子式不为零 ,即其自身 § ⇒|A|≠0∎ 13.2 秩的性质 • 定理1 ○ 初等变换不改变秩 ○ 交换两行 § A=(■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 )) →┴(r_1↔r_2 ) B=(■8(a_21&a_22&a_23@a_11&a_12&a_13 )) § 对于交换到的子式，仅改变符号，不改变非零性 § 即 r(B)=r(A) ○ 用非零 k 乘一行 § A=(■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 )) →┴(kr_1 ) B=(■8(ka_11&ka_12&ka_13@a_21&a_22&a_23 )) § 包含这一行的子式乘以 k，不改变非零性 § 即 r(B)=r(A) ○ 一行的 l 倍加到另一行 § A=(■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )) →┴(r_2+lr_1 ) B=(■8(a_11&a_12&a_13@a_21+la_11&a_22+la_12&a_23+la_13@a_31&a_32&a_33 )) § 对于不包含这两行的子式 □ 如 |■8(a_11&a_12@a_31&a_32 )|，无变化 § 对于两行都包含的子式 □ 如 |■8(a_11&a_12@a_21+la_11&a_22+la_12 )|=|■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )|，与原子式相等 § 对于只包含被加行的子式 □ 如|■8(a_21+la_11&a_22+la_12@a_31&a_32 )|=|■8(a_21&a_22@a_31&a_32 )|+l|■8(a_11&a_12@a_31&a_32 )| □ 若r(A)=r，根据上式 B 的 r+1 阶全为零⇒r(B)≤r(A) □ 若将 B 初等变换回 A，同理可以得到 r(A)≤r(B) □ 即 r(B)=r(A) § 综上所述 r(B)=r(A) • 定理2 ○ 乘可逆矩阵不改变秩 ○ A 可逆⇒r(B)=r(AB)=r(BA) 13.3 化阶梯形求秩 • 等价标准形矩阵的秩 ○ D=(■8(I_r&0@0&0))⇒r(D)=r • 阶梯形矩阵 ○ 定义 {█(零行位于下方@每一行的非零首元下方都为零)┤⇔{█(零行位于下方@非零首元逐行靠后)┤ ○ 例子 § (■8(1&2&3@0&4&5@0&0&1)) § (■8(1&2&3&4@0&0&1&2@0&0&0&0)) ○ 练习：列举所有可能的 3×3 的阶梯形矩阵 § 用 ∗ 代表任意元素，用 ! 代表非零元素 § (■8(!&∗&∗@0&!&∗@0&0&!))(■8(!&∗&∗@0&!&∗@0&0&0))(■8(!&∗&∗@0&0&!@0&0&0))(■8(!&∗&∗@0&0&0@0&0&0)) § (■8(0&!&∗@0&0&!@0&0&0))(■8(0&!&∗@0&0&0@0&0&0)) § (■8(0&0&!@0&0&0@0&0&0)) § (■8(0&0&0@0&0&0@0&0&0)) • 定理：阶梯形矩阵的秩就是非零行的个数 • 例1：求 A=(■8(1&0&1&−1&2@2&1&3&−1&6@1&1&2&−2&5@−1&−1&1&0&−1)) 的秩 ○ (■8(1&0&1&−1&2@2&1&3&−1&6@1&1&2&−2&5@−1&−1&1&0&−1))→(■8(1&0&1&−1&2@0&1&1&1&2@0&1&1&−1&3@0&−1&2&−1&1)) ○ →(■8(1&0&1&−1&2@0&1&1&1&2@0&0&0&−2&1@0&0&3&0&3))→(■8(1&0&1&−1&2@0&1&1&1&2@0&0&0&−2&1@0&0&3&0&3))→(■8(1&0&1&−1&2@0&1&1&1&2@0&0&3&0&3@0&0&0&−2&1)) ○ ⇒r(A)=4 • 例2：A=(■8(λ+2&2λ+1&1@1&−1&0@5&4&1))，已知 r(A)=2，求 λ ○ 方法一：行列式 § r(A)=2⇒A不满秩⇒|A|=0 § |■8(λ+2&2λ+1&1@1&−1&0@5&4&1)|=|■8(λ+2&3λ+3&1@1&0&0@5&9&1)| § =−|■8(3λ+3&1@9&1)|=−(3λ+3)+9=0 § ⇒λ=2 § 经检验，此时 r(A)=2 ○ 方法二：初等行变换 § (■8(λ+2&2λ+1&1@1&−1&0@5&4&1))→(■8(1&−1&0@5&4&1@λ+2&2λ+1&1)) § →(■8(1&−1&0@0&9&1@0&3λ+3&1))→(■8(1&−1&0@0&9&1@0&0&1−1/3(λ+1))) § ∵r(A)=2 § ∴ 1−1/3 (λ+1)=0⇒λ=2$

第14讲线性方程组

$14.1 消元解法 • 增广矩阵 ○ 系数矩阵+常数列 • 简化阶梯形 ○ 阶梯形 ○ 非零首元都是1 ○ 首元上下都为零 • 例1：有一组解 ○ {█(2x_1+2x_2−x_3=6@x_1−2x_2+4x_3=3@5x_1+7x_2+x_3=28)┤⇒{█(2x_1+2x_2−x_3=6@−3x_2+9/2 x_3=0@2x_2+7/2 x_3=13)┤⇒{█(2x_1+2x_2−x_3=6@x_2−3/2 x_3=0@13/2 x_3=13)┤⇒{█(x_1=1@x_2=3@x_3=2)┤ ○ (■8(2&2&−1&6@1&−2&4&3@5&7&1&28))⇒(■8(2&2&−1&6@0&−3&9/2&0@0&2&7/2&13))⇒(■8(2&2&−1&6@0&1&−3/2&0@0&0&13/2&13))⇒(■8(1&0&0&1@0&1&0&3@0&0&1&2)) • 例2：无穷多解 ○ {█(2x_1−x_2+3x_3=1@4x_1−2x_2+5x_3=4@2x_1−x_2+4x_3=−1)┤⇒{█(2x_1−x_2+3x_3=1@−x_3=2@x_3=−2)┤⇒{█(2x_1−x_2+3x_3=1@x_3=−2@0=0)┤⇒{█(x_1=7/2+1/2 x_2@x_3=−2)┤ ○ (■8(2&−1&3&1@4&−2&5&4@2&−1&4&−1))⇒(■8(2&−1&3&1@0&0&−1&2@0&0&1&−2))⇒(■8(2&−1&3&1@0&0&1&−2@0&0&0&0)) • 例3：无解 ○ {█(x_1+x_2+x_3=3@x_1+2x_2+x_3=4@x_1+x_3=1)┤⇒{█(x_1+x_2+x_3=3@x_2=1@−x_2=−2)┤⇒{█(x_1+x_2+x_3=3@x_2=1@0=−1)┤ ○ (■8(1&1&1&3@1&2&1&4@1&0&1&1))⇒(■8(1&1&1&3@0&1&0&1@0&−1&0&−2))⇒(■8(1&1&1&3@0&1&0&1@0&0&0&−1)) 14.2 解的情况 • 方程组{█(c_11 x_1+c_12 x_2+…+c_1n x_n=d_1@ c_22 x_2+…+c_2n x_n=d_2@ ⋮@ c_rr x_r+…+c_rn x_n=d_r@ 0=d_(r+1)@ 0=0@ ⋮@ 0=0)┤⇒(■(c_11&c_12&…&…&c_1n@&c_22&…&…&c_2n@&&…&…&⋮@&&c_rr&…&c_rn@&&&&0@&&&&0) │■8(d_1@d_2@⋮@d_r@d_(r+1)@0)) 解的情况 1. 若 d_(n+1)≠0⇒无解 § 0=d_(r+1)≠0 矛盾 2. 若 d_(n+1)=0 且 r=n⇒唯一解 § {█(c_11 x_1+c_12 x_2+…+c_1n x_n=d_1@ c_22 x_2+…+c_2n x_n=d_2@⋮@ c_nn x_n=d_n )┤ § 从后往前解出后代入可以求得{█(x_n=d_n/c_nn @x_(n−1)=…@⋮@x_1=…)┤ 3. 若 d_(n+1)=0 且 r<n⇒无穷多组解 § {█(c_11 x_1+c_12 x_2+…+c_1n x_n=d_1@ c_22 x_2+…+c_2n x_n=d_2@ ⋮@ c_rr x_r+…+c_rn x_n=d_r@ 0=0)┤ § ⇒{█(c_11 x_1+c_12 x_2+…+c_1r x_r=d_1−c_1n x_n…@⋮@c_rr x_r=d_r−c_rn x_n…)┤，即等式右边均为自由变量 • 用矩阵的秩来表示解的情况 ○ 对于 Ax ⃗=b ⃗，构造增广矩阵 (A,b ⃗ ) ○ 无解 § r(A,b)≠r(A)⇔r(A,b)>r(A)⇔r(A,b)=r(A)+1 ○ 有解 § r(A,b)=r(A) ○ 唯一解 § r(A,b)=r(A)=n ○ 无穷多组解 § r(A,b)=r(A)<n • 齐次线性方程组 Ax ⃗=0 ⃗ ○ 齐次线性方程组一定有零解，故只讨论两种解的情况 ○ 定理1 § 有非零解⇔无穷多解⇔r(A)<n § 只有零解⇔有唯一解⇔r(A)=n ○ 定理2 § 如果方程个数少于未知数个数，则有非零解 § 证明：将方程个数记为 m，则有 r(A)<m<n$

第15讲向量

$15.1 向量及其线性运算 • 什么是向量 ○ 向量 = 矢量 = vector ○ 物理：有大小、方向的量 ○ 几何：有向线段 ○ 代数：有序数组 • 向量的表示 ○ 粗体：α, β, γ ○ 箭头：α ⃗, β ⃗, γ ⃗ ○ 行向量(几何,物理)：α ⃗=(a_1,a_2…a_n ) ○ 列向量(代数)：β ⃗=(■8(b_1@⋮@b_n ))=(b_1…b_n )^T • 注 ○ 零向量：0 ⃗=(0…0)^T ○ 负向量：−α ⃗=(−a_1,−a_2…〖−a〗_n ) ○ 相等、加法、数乘与矩阵相同 • 线性空间：所有 n 维向量组成的集合，记作 Rn，又称为向量空间 ○ 可定义加法，数乘（对加法、数乘封闭） § α ⃗, β ⃗∈Rn⇒α ⃗+β ⃗∈Rn § k∈R⇒kα ⃗∈Rn ○ 八条性质 1. α ⃗+β ⃗=β ⃗+α ⃗ 2. (α ⃗+β ⃗ )+γ ⃗=α ⃗+(β ⃗+γ ⃗ ) 3. α ⃗+(−α ⃗ )=0 ⃗ 4. α ⃗+0 ⃗=α ⃗ 5. (kl) α ⃗=k(lα ⃗ ) 6. (k+l) α ⃗=kα ⃗+lα ⃗ 7. k(α ⃗+β ⃗ )=kα ⃗+kβ ⃗ 8. 1α ⃗=α ⃗ • 线性子空间：S 是线性空间，且 S⊂Rn ○ 自然满足第1，2，5，6，7，8条性质 ○ 需要验证第3，4条性质，以及是否对加法、数乘封闭，即 § α ⃗∈S⇒┴?−α ⃗∈S § 0 ⃗∈S § α ⃗, β ⃗∈S⇒┴? α ⃗+β ⃗∈S § α ⃗∈S,k∈R⇒┴? kα ⃗∈S ○ 由于后两条包含了前两条，故只需验证 § {█(α ⃗, β ⃗∈S ⇒┴? α ⃗+β ⃗∈S@α ⃗∈S,k∈R⇒┴? kα ⃗∈S)┤ 15.2 向量的点积与叉积 • 点积（内积，点乘） ○ 定义 § α ⃗=(a_1,a_2…a_n )^T, β ⃗=(b_1,b_2…b_n )^T § α ⃗⋅β ⃗=∑_(i=1)^n▒〖a_i b_i 〗=a_1 b_1+a_2 b_2+…+a_n b_n § α ⃗⋅β ⃗=α ⃗^T β=(a_1,a_2…a_n )(■8(b_1@b_2@⋮@b_n ))=a_1 b_1+a_2 b_2+…+a_n b_n ○ 性质 § 交换律：α ⃗⋅β ⃗=β ⃗⋅α ⃗ § 结合律：(kα ⃗ )⋅β ⃗=α ⃗⋅(kβ ⃗ )=k(α ⃗⋅β ⃗ ) § 分配律：(α ⃗+β ⃗ )⋅γ ⃗=α ⃗⋅γ ⃗+β ⃗⋅γ ⃗ § α ⃗⋅α ⃗=α ⃗^2≥0 § (α ⃗+β ⃗ )^2=α ⃗^2+β ⃗^2+2α ⃗⋅β ⃗ • 向量的长度（范数） ○ 定义 § ‖■8(α ⃗ )‖=√(α ⃗^2 )=√(a_1^2+a_2^2+…+a_n^2 ) § ‖(■8(AB)) ⃗ ‖=√((x_B−x_A )^2+(y_B−y_A )^2+(z_B−z_A )^2 ) ○ 性质1：‖■8(α ⃗ )‖≥0 § ‖■8(α ⃗ )‖=0⇔ α ⃗=0 ⃗ ○ 性质2：‖■8(kα ⃗ )‖=|k|⋅‖■8(α ⃗ )‖ § 证明略 ○ 性质3：|α ⃗⋅β ⃗ |≤‖■8(α ⃗ )‖⋅‖■8(β ⃗ )‖ § 柯西-施瓦茨不等式 § 施瓦茨不等式 § 柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式 § |∑_(i=1)^n▒〖a_i b_i 〗|≤√(∑_(i=1)^n▒a_i^2 ) √(∑_(i=1)^n▒b_i^2 ) § 构造 γ ⃗=α ⃗+kβ ⃗ (k∈R § 则 γ ⃗^2=(α ⃗+kβ ⃗ )^2=α ⃗^2+k^2 β ⃗^2+2kα ⃗⋅β ⃗≥0 恒成立 § 看作以 k 为未知数的方程，有 Δ=(2α ⃗⋅β ⃗ )^2−4α ⃗^2⋅β ⃗^2≤0 § (α ⃗⋅β ⃗ )^2≤α ⃗^2⋅β ⃗^2 § ⇒|α ⃗⋅β ⃗ |≤‖■8(α ⃗ )‖⋅‖■8(β ⃗ )‖ § （亦可用用均值不等式证明） • 向量的夹角 ○ 定义 § 根据余弦定理 ‖■8(α ⃗−β ⃗ )‖^2=‖■8(α ⃗^2 )‖+‖■8(β ⃗^2 )‖+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § 又因为 ‖■8(α ⃗−β ⃗ )‖^2=(■8(α ⃗−β ⃗ ))^2=α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗ § ⇒α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗=‖■8(α ⃗^2 )‖+‖■8(β ⃗^2 )‖+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § ⇒α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗=α ⃗^2+β ⃗^2+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § ⇒α ⃗⋅β ⃗=‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ （此为几何学的内积定义） § ⇒cos⁡θ=(α ⃗⋅β ⃗)/‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ § （柯西不等式保证了−1≤(α ⃗⋅β ⃗)/‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ ≤1 ○ 正交（垂直） § θ=π/2⇔α ⃗⋅β ⃗=0 • 叉积（在 R3 中） ○ 几何定义 § {█(大小:‖■8(γ ⃗ )‖=‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ sin⁡θ@方向:通过右手法则判断)┤⇒α ⃗×β ⃗=γ ⃗ ○ 代数定义 § α ⃗×β ⃗=(|■8(a_2&a_3@b_2&b_3 )|,−|■8(a_1&a_3@b_1&b_3 )|,|■8(a_1&a_2@b_1&b_2 )|) § α ⃗×β ⃗=|■8(i ̂&j ̂&k ̂@a_1&a_2&a_3@b_1&b_2&b_3 )|, 其中{█(i ̂=(1,0,0)@j ̂=(0,1,0)@k ̂=(0,0,1))┤ ○ 性质 § 反交换律：α ⃗×β ⃗=−β ⃗×α ⃗ § 结合律：(kα ⃗ )×β ⃗=α ⃗×(kβ ⃗ )=k(α ⃗×β ⃗ ) § 分配律：(α ⃗+β ⃗ )×γ ⃗=α ⃗×γ ⃗+β ⃗×γ ⃗ 15.3 空间中的直线与平面 • 空间中的直线 ○ 已知空间内一点 P，以及方向 α ⃗，假设直线上有一点 P_0 ○ 则直线方程可以用向量形式写为 § P ⃗=kα ⃗+(P_0 ) ⃗ (k∈R) ○ 也可以写成分量形式，若 P(x,y,z), P_0 (x_0,y_0,z_0 ),α ⃗=(a_1,a_2,a_3) ○ 可以得到直线的参数方程（显式） § {█(x=x_0+ka_1@y=y_0+ka_2@z=z_0+ka_3 )┤ ○ 将 k 约去可以得到直线的标准方程（隐式） § (x−x_0)/a_1 =(y−y_0)/a_2 =(z−z_0)/a_3 • 例1：求过空间内两点 P_1 (x_1,y_1,z_1 ), P_2 (x_2,y_2,z_2) 的直线方程 ○ α ⃗=(P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ○ ⇒P ⃗=(P_1 ) ⃗+k((P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ) ○ ⇒{█(x=x_1+k(x_2−x_1)@y=y_1+k(y_2−z_1)@z=z_1+k(z_2−z_1))┤ ○ ⇒(x−x_1)/(x_2−x_1 )=(y−y_1)/(y_2−y_1 )=(z−z_1)/(z_2−z_1 ) • 空间中的平面 ○ 确定一个平面需要平面上一个点 P_0 和该平面的法向量 β ⃗ ○ 则平面的方程可以用向量表示为 § (P ⃗−(P_0 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 ○ 写成分量形式，若 P(x,y,z), P_0 (x_0,y_0,z_0 ),β ⃗=(b_1,b_2,b_3 ) ○ 可以得到平面方程的标准形式（点法式） § b_1 (x−x_0 )+b_2 (y−y_0 )+b_3 (z−z_0 )=0 ○ 展开后可以得到平面的一般方程 § b_1 x+b_2 y+b_3 z+c=0 § 其中 c=−〖b_1 x〗_0−b_2 x_0−b_3 x_0 • 线性子空间 ○ 直线 § 若空间内的直线过原点 § 则直线方程 P ⃗=kα ⃗+(P_0 ) ⃗ 可以化为 P ⃗=kα ⃗ § 对于直线上任意两点 (P_1 ) ⃗=k_1 α ⃗ , (P_2 ) ⃗=k_2 α ⃗ ，可以得到 § (P_1 ) ⃗+(P_2 ) ⃗=(k_1+k_2)α ⃗ , t(P_1=) ⃗〖(tk〗_1)α ⃗ § 即过原点的直线方程对加法封闭 § 故过原点的直线是 R3 的子空间 ○ 平面 § 若空间内的平面过原点 § 则平面方程 (P ⃗−(P_0 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 可以化为 P ⃗⋅β ⃗=0 § 对于平面上任意两点 (P_1 ) ⃗⋅β ⃗=0 , (P_2 ) ⃗⋅β ⃗=0 ，可以得到 § ((P_1 ) ⃗+(P_2 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 , (k(P_1 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 § 即过原点的平面方程对加法封闭 § 故过原点的平面是 R3 的子空间 • 例2：求过三点 P_1 (x_1,y_1,z_1 ), P_2 (x_2,y_2,z_2), P_3 (x_3,y_3,z_3 ) 的平面方程 ○ 法1：克莱姆法则 § {█(b_1 x_1+b_2 y_1+b_3 z_1+c=0@b_1 x_2+b_2 y_2+b_3 z_2+c=0@b_1 x_3+b_2 y_3+b_3 z_3+c=0@b_1 x+b_2 y+b_3 z+c=0)┤ 有非零解 § ⇒|■8(x_1&y_1&z_1&1@x_2&y_2&z_2&1@x_3&y_3&z_3&1@x&y&z&1)|=0 ○ 法2：向量法 § β ⃗=((P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ )×((P_3 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ) § =(x_2−x_1,y_2−y_1,z_2−z_1 )×(x_3−x_1,y_3−y_1,z_3−z_1 ) § =|■8(i ̂&j ̂&k ̂@x_2−x_1&y_2−y_1&z_2−z_1@x_3−x_1&y_3−y_1&z_3−z_1 )|=(A_11,A_12,A_13) § (P ⃗−(P_1 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 § ⇒(x−x_1 ) A_11+(y−y_1 ) A_12+(z−z_1 ) A_13=0 § ⇒|■8(x−x_1&y−y_1&z−z_1@x_2−x_1&y_2−y_1&z_2−z_1@x_3−x_1&y_3−y_1&z_3−z_1 )|=0$

第16讲向量组

$16.1 线性组合与线性表示 • 线性方程组用向量形式表示 ○ Ax ⃗=b ⃗ ○ ((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )(■8(x_1@⋮@x_n ))=(■8(b_1@⋮@b_n )) ○ x_1 (a_1 ) ⃗+…+x_n (a_n ) ⃗=b ⃗ ○ 将 b ⃗ 称为向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 的线性组合 ○ 亦可表述为 b ⃗ 被向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性表示（表出） • 定理 ○ 对于 A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )_(m×n), β ⃗=Ax ⃗ ○ 若 r(A)=r(A,β ⃗)，则 β ⃗ 可以被 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性表出 • 例1：0 ⃗ 可以被任意向量线性表出 ○ 0 ⃗=0⋅(a_1 ) ⃗+0⋅(a_2 ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗ • 例2：任意 α ⃗∈Rn 可以被 (e_1 ) ⃗=(■8(1@0@⋮@0)),(e_2 ) ⃗=(■8(0@1@⋮@0))…(e_n ) ⃗=(■8(0@0@⋮@1)) ○ α ⃗=(■8(a_1@⋮@a_n ))=a_1 (e_1 ) ⃗+a_2 (e_2 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗ ○ 注： (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 被称为初始单位向量组 • 例3：(a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 可以线性表出 (a_i ) ⃗ ○ (a_i ) ⃗=0⋅(a_1 ) ⃗+…+1⋅(a_i ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗ • 向量组线性表示另一个向量组 ○ 将 (β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_n ) ⃗ 记作 (B)，(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 记作 (A) ○ 若 (B) 中的每个向量都可以被 (A) 线性表示 ○ 则称 (B) 可以被 (A) 线性表示 • 向量组等价 ○ 反身性：(A) 与 (A) 等价 § (A) 可以用 (A) 线性表示 ○ 对称性：(A) 与 (B) 等价⇔(B) 与 (A) 等价 (A) 可以用 (B) 线性表示 ⇔ (B) 可以用 (A) 线性表示 ○ 传递性：若 (A) 与 (B) 等价，且 (B) 与 (C) 等价，则 (A) 与 C 等价 § 若 (B) 可以被 (A) 线性表示，且 (C) 可以被 (B) 线性表示 § 则 (C) 可以被 (A) 线性表示 ○ 故向量组等价是一种等价关系 16.2 线性相关性 • 定义 ○ k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_n (a_n ) ⃗=0 ⃗ ○ 若上式存在 k_1…k_n 不全为零，则称向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 若上式解得 k_1…k_n 全为零，则称向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 缩写 ○ 线性相关：Linearly Independent，简写为 LI ○ 线性无关：Linearly Dependent，简写为 LD • 例1：一个向量的相关性 ○ 一个向量 α ⃗ 线性相关 ⇔ α ⃗=0 ⃗ ○ 一个向量 α ⃗ 线性无关 ⇔ α ⃗≠0 ⃗ • 例2：0 ⃗,(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 一定线性相关 ○ 1⋅0 ⃗+0⋅(a_1 ) ⃗+0⋅(a_2 ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗=0 ⃗ • 例3：两个非零向量 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗ 线性相关 ○ k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗=0 ⃗ ○ k_1,k_2 中必有一个不为零，若 k_1≠0 ○ 则 (a_1 ) ⃗=−k_2/k_1 (a_2 ) ⃗ ○ 即两个向量成比例 • 定理 ○ 要判断 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 的线性相关性 ○ 即解齐次线性方程组 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_n (a_n ) ⃗=0 ⃗ 有非零解 ○ 构造矩阵 A=( (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ )，则 ○ 当 r(A)<n 时， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 当 r(A)=n 时， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 例4：求向量组 (■8(1@2@−1@5)),(■8(2@−1@1@1)),(■8(4@3@−1@11)) 的线性相关性 ○ 构造 A=(■8(1&2&4@2&−1&3@−1&1&−1@5&1&11))，消为阶梯形得 (■8(1&2&4@0&−5&−5@0&0&0@0&0&0)) ○ r(A)=2<3 • 推论1 ○ (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 是 n 个 n 维向量 ○ 构造矩阵 A=( (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ )，则 ○ 当 |A|=0 时，矩阵不满秩，即 r(A)<n， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 当 |A|≠0 时，矩阵满秩，即 r(A)=n， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 推论2 ○ 向量个数大于维数，则线性相关 ○ r(A)≤维数<n 16.3 相关性定理 • 定理1 ○ 内容 § 若部分组线性相关，则原向量组线性相关 ○ 证明 § 原向量组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 中取出部分组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ § 若部分组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性相关，即 § k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗=0 ⃗ § k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗+0⋅(a_(s+1) ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗=0 ⃗ § 即原向量组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 逆反 § 若原向量组线性无关，则部分组都线性无关 • 定理2 ○ 内容 § 若砍掉部分分量后线性无关，则原向量组线性无关 ○ 逆反 § 原向量组线性相关，则砍掉部分分量后线性相关 ○ 例 § (■8(1@0@5))与(■8(0@1@2))线性无关，由于 (■8(1@0))与(■8(0@1))线性无关 • 定理3 ○ 内容 § 向量组线性相关，则其中至少一个向量可被其他线性表示 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ (s≥2) 线性相关，则必定存在 § (a_i ) ⃗=k_1 (a_1 ) ⃗+…+k_(i−1) (a_(i−1) ) ⃗+k_(i+1) (a_(i+1) ) ⃗+…k_s (a_s ) ⃗ ○ 证明 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ (s≥2) 线性相关 § 则 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗=0 ⃗ 其中必有一个 k_i≠0 § 移项得 (a_i ) ⃗=−k_1/k_i (a_1 ) ⃗…−k_s/k_i (a_s ) ⃗ • 定理4 ○ 内容 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性无关，加上 β ⃗ 后的向量组 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗,β ⃗ 线性相关 § 则 β ⃗ 可被 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性表出，且表示方法唯一 ○ 证明可以被线性表出 § (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗,β ⃗ 线性相关 § 即 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗+k_(s+1) β ⃗=0 ⃗ § 若 k_(s+1)=0，则 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性相关，与题设矛盾 § 即 k_(s+1)≠0 § ⇒β ⃗=−k_1/k_(s+1) (a_1 ) ⃗…−k_s/k_(s+1) (a_s ) ⃗ ○ 证明唯一性 § 若 β ⃗ 有两种表示方法 § β ⃗=l_1 (a_1 ) ⃗+…+l_s (a_s ) ⃗ § β ⃗=m_1 (a_1 ) ⃗+…+m_s (a_s ) ⃗ § 分别相减得 § 0 ⃗=(l_1−m_1 ) (a_1 ) ⃗+…(l_s−m_s ) (a_s ) ⃗ § ∵(a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性无关 § ∴{█(l_1−m_1=0@⋮@l_s−m_s=0)┤⇒{█(l_1=m_1@⋮@l_s=m_s )┤ § 即 β ⃗ 的表示方法唯一 • 定理5 ○ 内容 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (B) 可以被 (A) 表出，且 t s，则 (B) 线性相关 ○ 证明略 ○ 逆反 § 若 (B) 可以被 (A) 表出，且 (B) 线性无关，则 t≤s • 推论 ○ 内容 § 若 (B) 与 (A) 等价，且线性无关，则 s=t ○ 证明 § (B) 可以被 (A) 线性表示 ⇒t≤s § (A) 可以被 (B) 线性表示 ⇒s≤t § 即 s=t$

Shawn Zhong

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