July 2017 - Page 3 of 5 - Shawn Zhong

第17讲向量组的秩

$17.1 极大无关组 • 定义 ○ 部分组线性无关，且加上任何一个向量后即线性相关 • 例子 ○ (■8(0@1)),(■8(1@0)),(■8(1@1)) 中的极大无关组为 (■8(0@1)),(■8(1@0)) 和 (■8(1@0)),(■8(1@1)) 和 (■8(0@1)),(■8(1@1)) • 性质 ○ 极大无关组不一定唯一 ○ 向量组线性无关，则其极大无关组为自身 ○ 如果向量组只有 0 ⃗ ，则不存在极大无关组 • 定理1 ○ 内容 § 极大无关组与原向量组等价 ○ 证明 § 显然极大无关组可以被原向量组表示 § 以下证明原向量组可以被极大无关组表示 § 将原向量组记为 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗，极大无关组记为 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ § 从原向量组中取出 (α_i ) ⃗ § 若 i≤s，则显然 (α_i ) ⃗ 可以被极大无关组表出 § 若 i s，根据定义，极大无关组加上一个向量后即线性相关 § 即 (α_i ) ⃗=k_1 α ⃗_1+…+k_s α ⃗_s • 定理2 ○ 任意两个极大无关组的向量个数相同 ○ 证明可由第16讲定理5的推论得到 • 向量组的秩 ○ 极大无关组中向量的个数 • 定理3： ○ 内容 § 任何一个线性无关的部分组都可扩充为极大无关组 ○ 极大无关组的一种求法 § 可以先从向量组中取出一个非零向量 § 再依次添加所有线性无关向量 § 既可以通过扩充的方法得到极大无关组 • 定理4 ○ 内容 § 若部分组线性无关，且向量个数=秩，则部分组就是极大无关组 ○ 证明 § 假设部分组不是极大无关组 § 则添加某向量后部分组仍旧线性无关 § 即向量个数大于秩，矛盾 § 故部分组就是极大无关组 • 练习：求 (α_1 ) ⃗=(■8(2@4@2)),(α_2 ) ⃗=(■8(1@1@0)),(α_3 ) ⃗=(■8(2@3@1)),(α_4 ) ⃗=(■8(3@5@2)) 的极大无关组 ○ 构造 A=((α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗,(α_3 ) ⃗,(α_4 ) ⃗)=(■8(2&1&2&3@4&1&3&5@2&0&1&2)) ○ 由于初等行变换不改变列向量之间的线性关系 ○ A→(■8(2&1&2&3@0&−1&−1&−1@0&0&0&0))→(■8(1&0&1/2&1@0&1&1&1@0&0&0&0))=((β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗,(β_3 ) ⃗,(β_4 ) ⃗) ○ 显然 (β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗ 是极大无关组，且{█((β_3 ) ⃗=1/2 (β_1 ) ⃗+(β_2 ) ⃗@(β_4 ) ⃗=(β_1 ) ⃗+(β_2 ) ⃗ )┤ ○ 故 (α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗ 是极大无关组，且{█((α_3 ) ⃗=1/2 (α_1 ) ⃗+(α_2 ) ⃗@(α_4 ) ⃗=(α_1 ) ⃗+(α_2 ) ⃗ )┤ 17.2 向量组的秩与矩阵的秩 • 向量组的秩 ○ 极大无关组中向量的个数 • 矩阵的秩 ○ 非零子式的最高阶数 • 列秩（列向量组的秩） ○ A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ) • 行秩（行向量组的秩） ○ A=(■8((β_1 ) ⃗@⋮@(β_n ) ⃗ )) • 定理 ○ 内容 § r(A)=行秩=列秩 ○ 证明列向量组线性无关 § A=(■8(a_11&…&a_1r&…&a_1n@…&…&…&…&…@a_r1&…&a_rr&…&…@…&…&…&…&…@a_m1&…&…&…&a_mn )) § 假设 r(A)=r，即存在 r 阶子式不为零 § 假设 r 阶子式位于左上方，即 |■8(a_11&…&a_1r@…&…&…@a_r1&…&a_rr )|≠0 § ⇒向量组(■8(a_11@⋮@a_r1 )),(■8(a_12@⋮@a_r2 ))…(■8(a_1r@⋮@a_rr )) 线性无关 § 即向量组 (■8(a_11@⋮@a_r1@⋮@a_m1 )),(■8(a_12@⋮@a_r2@⋮@a_m2 ))…(■8(a_1r@⋮@a_rr@⋮@a_mr )) 线性无关 ○ 证明列向量组极大 § 即证明 (■8(a_11@⋮@a_m1 )),(■8(a_12@⋮@a_m2 ))…(■8(a_1r@⋮@a_mr )),(■8(a_(1,r+1)@⋮@a_(m,r+1) )) 线性相关 § 假设线性无关 § 构造 A_r=(■8(a_11&a_12&…&a_(1,r+1)@a_21&a_22&…&a_(2,r+1)@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_(m,r+1) )) § 由于线性无关，有 r(A_r )=r+1 § 即 A_r 存在 r+1 阶的子式非零 § 因为 A_r 取自 A，所以 A 也存在 r+1 阶的子式非零 § 与 r(A)=r 矛盾 § 即列向量组是极大无关组 ○ 同理可证 r(A)=行秩 17.3 关于秩的重要定理 • 定理1 ○ 内容 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (B) 可以被 (A) 表出，则 r(B)≤r(A) ○ 证明 § (B) 可以被 (A) 表出 § (B) 的极大无关组可以被 (A) 的极大无关组表出 § r(B)≤r(A) ○ 推论 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (A) 与 (B) 等价，则 r(B)=r(A) • 定理2 ○ 内容 § 对于矩阵 A_(m×n), B_(n×p)，有 r(AB)≤min⁡(r(A),r(B)) ○ 证明 § A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ), B=(■8(b_11&…&b_1p@⋮&⋮&⋮@b_n1&…&b_np )) § AB=(b_11 (α_1 ) ⃗+…b_n1 (α_n ) ⃗ … b_1p (α_1 ) ⃗+…b_np (α_n ) ⃗ )=((γ_1 ) ⃗…(γ_p ) ⃗ ) § 即 (γ_i ) ⃗ 可以表示为 (α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ 的线性组合 § (γ_i ) ⃗=k_i1 (α_1 ) ⃗+…+k_in (α_n ) ⃗ § 根据定理1， r(AB)≤r(A) § 同理 r(AB)≤r(B) § 即 r(AB)≤min⁡(r(A),r(B)) • 定理3 ○ 内容 § 假设 A 可逆，则 r(AB)=r(B), r(CA)=r(C) ○ 证明 § 由定理2可得 r(AB)≤r(B) § 又因为 r(B)=r(A^(−1) AB)≤r(AB) § 所以 r(AB)=r(B) § 同理可证 r(CA)=r(C) • 定理4 ○ 内容 § r(A+B)≤r(A)+r(B) ○ 证明 § A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ), B=((β_1 ) ⃗…(β_n ) ⃗ ) § A+B=((α_1 ) ⃗+(β_1 ) ⃗,…,(α_n ) ⃗+(β_n ) ⃗ ) § r(A+B)≤r(A,B)=r((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗,(β_1 ) ⃗…(β_n ) ⃗ ) § 若 (α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ 的极大无关组为 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗，(β_1 ) ⃗…(β_n ) ⃗ 的极大无关组为(β_1 ) ⃗…(β_t ) ⃗ § r(A+B)≤r((α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗,(β_1 ) ⃗…(β_t ) ⃗ )≤s+t=r(A)+r(B) • 定理5：西尔维斯特(Sylvester)不等式 ○ 内容 § r(A_(m×n) B_(n×p) )≥r(A)+r(B)−n ○ 证明 § r(A)+r(B)=r(■8(A&0@0&B))≤r(■8(A&0@−I&B)) § =r(■8(A&AB@−I&0))=r(■8(0&AB@−I&0))=r(AB)+r(−I)=r(AB)−n § 即 r(AB)≥r(A)+r(B)−n • 推论 ○ 内容 § A 列满秩 ⇒ r(AB)=r(B) § A 行满秩 ⇒ r(CA)=r(C) ○ 证明 § A 列满秩 ⇒ r(A_(m×n) )=n § r(AB)≤r(B) § r(AB)≥r(A)+r(B)−n=r(B) § ⇒r(AB)=r(B) § 同理可证 A 行满秩 ⇒ r(CA)=r(C)$

第18讲线性方程组解的结构

$18.1 齐次线性方程组解的结构 • 将齐次线性方程组 Ax ⃗=0 ⃗ 的解集记为 S (Solution Set) • 解集的性质 ○ S⊆R^n ○ 对加法封闭 § 设 (ξ_1 ) ⃗∈S, (ξ_2 ) ⃗∈S § 代入得 A(ξ_1 ) ⃗=0, A(ξ_2 ) ⃗=0 § ⇒A((ξ_1 ) ⃗+(ξ_2 ) ⃗)=0 § 即 (ξ_1 ) ⃗+(ξ_2 ) ⃗∈S ○ 对数乘封闭 § 设 ξ ⃗∈S, k∈R § Aξ ⃗=0⇒kAξ ⃗=0⇒A(kξ ⃗ )=0 § 即 kξ ⃗∈S ○ S 是 R^n 的子空间 § (ξ_1 ) ⃗∈S,…, (ξ_2 ) ⃗∈S § ⇒c_1 (ξ_1 ) ⃗+…c_t (ξ_t ) ⃗∈S ○ S 是线性空间 § r(A)=n⇒S={0 ⃗ } § r(A)<n⇒子空间 18.2 基础解系 • 基础解系 ○ 齐次线性方程组解集的极大无关组 • 定理1 ○ 内容 § r(A)=n⇒无基础解系 § r(A)<n⇒基础解系中向量的个数 r(S)=n−r(A) ○ 例题 § {█(x_1−x_2+5x_3−x_4=0@x_1+x_2−2x_3+3x_4=0@3x_1−x_2+8x_3+x_4=0@x_1+3x_2−9x_3+7x_4=0)┤ § ⇒(■8(1&−1&5&−1@1&1&−2&3@3&−1&8&1@1&3&−9&7)) →┴最简阶梯形 (■8(1&0&3/2&1@0&1&−7/2&2@0&0&0&0@0&0&0&0)) § ⇒{█(x_1+3/2 x_3+x_4=0@x_2−7/2 x_3+2x_4=0)⇒{█(x_1=−3/2 x_3−x_4@x_2=7/2 x_3−2x_4 )┤┤ ○ 注 § 其中 x_1, x_2 被称为约束变量，x_3, x_4 被称为自由变量 § 约束变量为最简阶梯形中首元一对应的变量 § 约束变量的个数为非零行的个数 r(A) § 自由变量的个数为 n−r(A)，即为解集 S 的秩 r(S) § 将(■8(x_3@x_4 ))=(■8(1@0))代入 x_1,x_2 得到 (ξ_1 ) ⃗=(■8(−3/2@7/2@1@0)) § 将(■8(x_3@x_4 ))=(■8(0@1))代入 x_1,x_2 得到 (ξ_2 ) ⃗=(■8(−1@−2@0@1)) § 则 (ξ_1 ) ⃗, (ξ_2 ) ⃗ 构成基础解系 § 即原方程的任意一个解 (■8(a_1@a_2@a_3@a_4 )) 都可以写成 a_3 (ξ_1 ) ⃗+a_4 (ξ_2 ) ⃗ • 定理2 ○ 内容 § A_(m×n) B_(n×p)=0⇒r(A)+r(B)≤n ○ 证一 § 令 B=((β_1 ) ⃗…(β_p ) ⃗ ) § AB=A((β_1 ) ⃗…(β_p ) ⃗ )=(A(β_1 ) ⃗, …,A(β_p ) ⃗ )=0 § ⇒A(β_1 ) ⃗=0,…,A(β_p ) ⃗=0 § 将 Ax ⃗=0 的解集记为 S § 则 (β_1 ) ⃗,…,(β_s ) ⃗∈S § 即 (β_1 ) ⃗,…,(β_s ) ⃗ 可以被 S 表出 § r(B)≤r(S)=n−r(A) § ⇒r(A)+r(B)≤n ○ 证二 § 根据西尔维斯特(Sylvester)不等式 § r(A_(m×n) B_(n×p) )≥r(A)+r(B)−n § 0 r(A)+r(B)−n § ⇒r(A)+r(B)≤n 18.3 非齐次线性方程组解的结构 • 导出组 ○ Ax ⃗=b ⃗≠0 的导出组为 Ax ⃗=0 • T 的性质 ○ 将 Ax ⃗=b ⃗ 的解集记为 T，Ax ⃗=0 的解集记为 S ○ T 不对加法封闭：已知 (η_1 ) ⃗∈T, (η_2 ) ⃗∈T，则 (η_1 ) ⃗+(η_2 ) ⃗∉T § (η_1 ) ⃗∈T, (η_2 ) ⃗∈T § ⇒A(η_1 ) ⃗=b ⃗, A(η_2 ) ⃗=b ⃗ § ⇒A((η_1 ) ⃗+(η_2 ) ⃗ )=2b ⃗≠b ⃗ ○ T 不对数乘封闭：已知 η ⃗∈T，则 kη ⃗∉T (k≠1) § η ⃗∈T § ⇒Aη ⃗=b ⃗ § 当 k≠1 时，Akη ⃗=kb ⃗≠b ⃗ ○ 已知 η ⃗∈T, ξ ⃗∈S，则 η ⃗+ξ ⃗∈T § η ⃗∈T, ξ ⃗∈S § Aη ⃗=b ⃗, Aξ ⃗=0 ⃗ § A(η ⃗+ξ ⃗ )=b ⃗+0 ⃗=b ⃗ ○ 已知 (η_1 ) ⃗∈T, (η_2 ) ⃗∈T，则 (η_1 ) ⃗−(η_2 ) ⃗∈S § (η_1 ) ⃗∈T, (η_2 ) ⃗∈T § ⇒A(η_1 ) ⃗=b ⃗, A(η_2 ) ⃗=b ⃗ § ⇒A((η_1 ) ⃗−(η_2 ) ⃗ )=b ⃗−b ⃗=0 ⃗ • 定理 ○ 内容 § (η_0 ) ⃗ 是 Ax ⃗=b ⃗ 的一个特解，ξ ⃗ 是 Ax ⃗=0 的解 § 如果 ξ ⃗ 取变 Ax ⃗=0 所有的解 § 则 (η_0 ) ⃗+ξ ⃗ 取变 Ax ⃗=b ⃗ 所有的解 ○ 证明 § 假设 η ⃗ 是 Ax ⃗=b ⃗ 的任意解 § 则 η ⃗−(η_0 ) ⃗∈S § 即在 S 中存在 ξ ⃗，使得 η ⃗−(η_0 ) ⃗=ξ ⃗ § 即 η ⃗=(η_0 ) ⃗+ξ ⃗ ○ 故 T 被称为仿射空间(affine) • 例子：{█(x_1+x_2+x_3+x_4=3@x_1+2x_2+x_3=4)┤ ○ (■8(1&1&1&1@1&2&1&0) │ ■8(3@4))→(■8(1&0&1&2@0&1&0&−1) │ ■8(2@1))⇒{█(x_1=−x_3−2x_4+2@x_2=x_3+1)┤ ○ 令 (■8(x_3@x_4 ))=(■8(0@0))，得到一特解 (η_0 ) ⃗=(■8(2@1@0@0)) ○ 计算导出组 {█(x_1+x_2+x_3+x_4=0@x_1+2x_2+x_3=0)┤ 的解为 {█(x_1=−x_3−2x_4@x_2=x_3 )┤ ○ 令 (■8(x_3@x_4 ))=(■8(1@0)),(■8(0@1))，得到 (ζ_1 ) ⃗=(■8(−1@0@1@0)), (ζ_2 ) ⃗=(■8(−2@1@0@1)) ○ η ⃗=(η_0 ) ⃗+c_1 (ζ_1 ) ⃗+c_2 (ζ_2 ) ⃗=(■8(2@1@0@0))+c_1 (■8(−1@0@1@0))+c_2 (■8(−2@1@0@1))$

第19讲特征值与特征向量

$19.1 概念 • 引入 ○ 对于矩阵A_(m×n) 是，否存在一个数 λ 和非零向量 α ⃗，使得 Aα ⃗=λα ⃗ ○ α ⃗ 被称为特征向量(eigenvector) ○ λ 被称为特征值 (eigenvalue) • 特征值的解法 ○ Aα ⃗=λα ⃗ 移项后得到齐次线性方程组 ○ (λI−A) α ⃗=0 ○ 要使上式有非零解，需满足 |λI−A|=0 ○ 即 |■8(λ−a_11&−a_12&…&〖−a〗_1n@−a_21&〖λ−a〗_22&…&−a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@−a_n1&〖−a〗_n2&…&λ−a_nn )|=0 ○ 展开后得到 λ^n+(−a_11−a_22…−a_nn ) λ^(n−1)+…=0 ○ 上式被称为特征方程，等号左边被称为特征多项式 • 步骤 1. |λI−A|=0⇒求出 λ_1…λ_s 2. |λ_i I−A| α ⃗=0⇒求基础解系，求得的 α ⃗ 称为属于 λ_i 的特征向量 • 练习：A=(■8(3&1@5&−1)) ○ |λI−A|=(■8(λ−3&−1@−5&λ+1))=0 ○ λ^2−2λ−9=0 ○ λ_1=4 or λ_2=−2 ○ 当 λ_1=4 时 § |4I−A| α ⃗=(■8(1&−1@−5&5)) α ⃗=0 § |4I−A|=(■8(1&−1@−5&5))→(■8(1&−1@0&0)) § ⇒x_1=x_2 § ⇒α ⃗=c(■8(1@1)) ○ 当 λ_1=−2 时 § |4I−A|=(■8(−5&−1@−5&−1))→(■8(−5&−1@0&0)) § ⇒〖−5x〗_1=x_2 § ⇒α ⃗=c(■8(1@−5)) 19.2 几个例子 • 例1：A=(■8(1&2&2@2&1&2@2&2&1)) ○ |λI−A|=|■8(λ−1&−2&−2@−2&λ−1&−2@−2&−2&λ−1)|=|■8(λ−5&−2&−2@λ−5&λ−1&−2@λ−5&−2&λ−1)| ○ =(λ−5)|■8(1&−2&−2@1&λ−1&−2@1&−2&λ−1)|=(λ−5)|■8(1&−2&−2@0&λ+1&0@0&0&λ+1)| ○ =(λ−5) (λ+1)^2=0 ○ 即 λ_1=5,λ_2=λ_3=−1 ○ 当 λ=5 时 § λI−A=(■8(λ−1&−2&−2@−2&λ−1&−2@−2&−2&λ−1))=(■8(4&−2&−2@−2&4&−2@−2&−2&4)) § (■8(4&−2&−2@−2&4&−2@−2&−2&4))(■8(x_1@x_2@x_3 ))=0⇒α ⃗=c(■8(1@1@1)) ○ 当 λ=−1 时 § α ⃗=c(■8(−1@0@1)) • 例2：A=(■(a&&@&⋱&@&&a)) ○ |λI−A|=|■(λ−a&&@&⋱&@&&λ−a)|=0 ○ (λ−a)^n=0 ○ ⇒λ_1=…=λ_n=a ○ λI−A=0a ⃗=0 ○ α ⃗∈Rn ○ 故 α ⃗=c_1 (e_1 ) ⃗+c_2 (e_2 ) ⃗+…+c_n (e_n ) ⃗ ○ 其中 (e_1 ) ⃗=(1,0,…0)^T, (e_2 ) ⃗=(0,1,…0)^T…(e_n ) ⃗=(0,0,…1)^T • 例3 ○ 平面直角坐标系中(■8(x@y))绕原点旋转 θ 得到(■8(x′@y)) ○ 有 (■8(x′@y))=A(■8(x@y))，其中 A=(■8(cosθ&−sinθ@sinθ&cosθ)) ○ 求 A 的特征向量 ○ |λI−A|=|■8(λ−cosθ&sinθ@−sinθ&λ−cosθ)|=λ^2−2λcosθ+1=0 ○ 当 cos⁡θ≠±1，即 θ≠kπ 时，无实根 ○ 当 cos⁡θ=1，即 θ=2kπ 时 § λ=1 § ⇒λI−A=0 § ⇒α ⃗∈Rn ○ 当 cos⁡θ=−1，即 θ=(2k+1)π 时 § λ=−1 § ⇒λI−A=0 § ⇒α ⃗∈Rn 19.3 基本性质 • 性质1 ○ 内容 § 若 λ_0 是 A_(n×n) 的特征值，则 A^2 有一个特征值 λ_0^2 ○ 证明 § Aα ⃗=λ_0 α ⃗ § A(Aα ⃗)=A(λ_0 α ⃗) § A^2 α ⃗=λ_0 Aα ⃗=λ_0^2 α ⃗ § ⇒λ_0^2 是 A 的特征值 • 性质2 ○ 内容 § 若 λ_0 是 A_(n×n) 的特征值，则 kI−A 有特征值 k−λ_0 ○ 证明 § (kI−A) α ⃗=kIα ⃗−Aα ⃗=kα ⃗−λ_0 α ⃗=(k−λ_0 ) α ⃗ ○ 推广 ○ 关于 A 的任意矩阵多项式 a_n A^n+a_(n−1) A^(n−1)+…+a_1 A+a_0 I ○ 都有特征值 a_n λ_0^n+a_(n−1) λ_0^(n−1)+…+a_1 λ_0+a_0 • 性质3 ○ 内容 § 若 λ_0 是可逆矩阵 A_(n×n) 的特征值，则 A^(−1) 有特征值 1/λ_0 ○ 证明 § Aα ⃗=λ_0 α ⃗ § A^(−1) (Aα ⃗ )=A^(−1) (λ_0 α ⃗ ) § α ⃗=λ_0 A^(−1) α ⃗ § 1/λ_0 α ⃗=A^(−1) α ⃗ ○ 推广 § 若 λ_0 是可逆矩阵 A_(n×n) 的特征值，则 A^∗ 有特征值 |A|/λ_0 § A^∗ α ⃗=|A| A^(−1) α ⃗=|A|/λ_0 α ⃗ • 定理1 ○ 内容 § 若 A 奇异，则 A 有特征值 0 § 若 A 非奇异，则 A 特征值非零 ○ 证明 § |λI−A|=0 § 若 A 奇异，即 |A|=0，则显然 λ=0 是上式的根 § |A|=0⇔λ=0 • 定理2 ○ 内容 § A 与 A^T 有相同的特征值 § 注：特征向量一般不相同 ○ 证明 § |λI−A|=|(λI−A)^T |=|λI−A^T |=0 • 定理3 ○ 内容 § 属于不同特征值的特征向量线性无关 ○ 证明（两组特征向量） § 假设 A(α_1 ) ⃗=λ_1 (α_1 ) ⃗, A(α_2 ) ⃗=λ_2 (α_2 ) ⃗ § k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗=0 § A(k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗ )=0 § k_1 A(α_1 ) ⃗+k_2 A(α_2 ) ⃗=0 § k_1 λ_1 (α_1 ) ⃗+k_2 λ_2 (α_2 ) ⃗=0 § 联立 {█(k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗=0@k_1 λ_1 (α_1 ) ⃗+k_2 λ_2 (α_2 ) ⃗=0)┤⇒k_1 (λ_1−λ_2 ) (α_1 ) ⃗=0 § 又因为 k_1≠0, (α_1 ) ⃗≠0 § 所以 k_1=0 § 代回 k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗=0 得 k_2=0 § k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗=0 的解为 {█(k_1=0@k_2=0)┤⇒(α_1 ) ⃗ 与 (α_2 ) ⃗ 线性无关 ○ 证明 § 假设 A(α_3 ) ⃗=λ_2 (α_3 ) ⃗ § k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗+k_3 (α_3 ) ⃗=0 § A(k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗+k_3 (α_3 ) ⃗ )=0 § k_1 λ_1 (α_1 ) ⃗+k_2 λ_2 (α_2 ) ⃗+k_3 λ_3 (α_3 ) ⃗=0 § 联立 {█(k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗+k_3 (α_3 ) ⃗=0@k_1 λ_1 (α_1 ) ⃗+k_2 λ_2 (α_2 ) ⃗+k_3 λ_3 (α_3 ) ⃗=0)┤ § ⇒k_1 (λ_1−λ_3 ) (α_1 ) ⃗+k_2 (λ_2−λ_3 ) (α_2 ) ⃗=0 § ⇒k_1=0, k_2=0 § 代回 k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗+k_3 (α_3 ) ⃗=0 得 k_3=0 § 以此类推可以得到 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 均线性无关 • 根与系数的关系 ○ 对于方程 x^n+a_(n−1) x^(n−1)+…+a_1 x+a_0=0 有 § x^n+a_(n−1) x^(n−1)+…+a_1 x+a_0 § =(x−x_1 )(x−x_2 )…(x−x_n ) § =x^n−(x_1+x_2+…+x_n ) x^(n−1)+(x_1 x_2+x_1 x_3+…x_(n−1) x_n ) x^(n−2)+…+(−1)^n x_1 x_2…x_n ○ 对比系数得根与系数的关系 § x_1+x_2+…+x_n=a_(n−1) § x_1 x_2…x_n=(−1)^n a_0 § x_1 x_2+x_1 x_3+…x_(n−1) x_n=a_(n−2) • 定理4 ○ 内容 § 若 A_(n×n) 有特征值 λ_1…λ_n § 则 ∑_(i=1)^n▒λ_i =∑_(i=1)^n▒a_ii , ∏_(i=1)^n▒λ_i =|A| ○ 备注 § 矩阵对角线上的元素 a_ii 之和被称为矩阵的迹 ○ 证明 § |λI−A|=0 § |■8(λ−a_11&−a_12&…&〖−a〗_1n@−a_21&〖λ−a〗_22&…&−a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@−a_n1&〖−a〗_n2&…&λ−a_nn )|=0 § λ^n−(a_11+a_22+…+a_nn ) λ^(n−1)+…+a_1 λ+a_0=0 § 根据根与系数的关系有 § λ_1+λ_2+…+λ_n=a_11+a_22+…+a_nn § λ_1 λ_2…λ_n=(−1)^n a_0 § 将 λ=0 代入 |λI−A|=λ^n…+a_1 λ+a_0 得 a_0=(−1)^n |A| § 故 λ_1 λ_2…λ_n=(−1)^n a_0=(−1)^n (−1)^n |A|=|A| • 例题 ○ A=(■8(1&−1&0@2&x&0@4&2&1))，已知 λ_1=1,λ_2=2，求 x 和 λ_3 ○ 法一 § {█(λ_1+λ_2+λ_3=1+1+x@λ_1 λ_2 λ_3=|A|=x+2)┤⇒{█(λ_3=3@x=4)┤ § 但不完全，需代回检验 ○ 法二 § |λI−A|=0 § |■8(λ−1&1&0@−2&λ−x&0@−4&−2&λ−1)|=0 § (λ−1)(■8(λ−1&1@−2&λ−x))=(λ−1)[(λ−1)(λ−x)+2]=0 § 将 λ_2=2 代入得 § (2−1)(2−x)+2=0 § ⇒x=4 § (λ−1)[(λ−1)(λ−4)+2]=0 § ⇒(λ−1)(λ−2)(λ−3)=0 § ⇒λ_3=3$

第20讲相似矩阵与矩阵对角化

$20.1 矩阵的相似 • 定义：相似 ○ 对于矩阵 A_(n×n),B_(n×n) ，存在可逆矩阵 P 使得 B=P^(−1) AP ○ 则称矩阵 A 和矩阵 B 相似，记作 A~B • 相似是一种等价关系 ○ 反身性：A~A § A=I^(−1) AI § ⇒A~A ○ 对称性：若 A~B，则 B~A § A~B § ⇒B=P^(−1) AP § ⇒A=PBP^(−1)=(P^(−1) )^(−1) B(P^(−1) ) § ⇒A~B ○ 传递性，若 A~B, B~C，则 A~C § A~B, B~C § ⇒{█(B=P_1^(−1) AP_1@C=P_2^(−1) BP_2 )┤ § ⇒C=P_2^(−1) P_1^(−1) AP_1 P_2=(P_1 P_2 )^(−1) A(P_1 P_2 ) § ⇒A~C • 矩阵关系 ○ 相似：B=P^(−1) AP ○ 等价：B=PAQ ○ 相似矩阵一定等价 ○ 等价矩阵不一定相似 • 性质1 ○ 内容 § 相似的矩阵有相同的特征值 § 但特征向量一般不相同 ○ 证明 § A~B⇒B=P^(−1) AP § |λI−A|=|P^(−1) (λI−A)P|=|P^(−1) λIP−P^(−1) AP|=|λI−B|=0 ○ 注：反之不成立（必要条件，但不充分） § A=(■8(1&0@0&1)), B=(■8(1&1@0&1)) 有相同特征值 λ=1 § 将与 A 相似的矩阵记为 C 则 § P^(−1) AP=P^(−1) IP=I § ⇒C=I≠B § 故 B 与 A 不相似 • 性质2 ○ 相似矩阵有相同的秩 § A~B § ⇒B=P^(−1) AP § ⇒r(B)=r(A) ○ 相似矩阵有相等的行列式 § |B|=|P^(−1) AP|=|P^(−1) ||A||P|=|A| ○ 相似矩阵有相等的可逆性，且可逆时 A^(−1)~B^(−1) § 由于行列式相同，可逆性必然相同 § A~B § ⇒B=P^(−1) AP § ⇒B^(−1)=(P^(−1) AP)^(−1)=P^(−1) A^(−1) (P^(−1) )^(−1)=P^(−1) A^(−1) P § ⇒B^(−1)~A^(−1) ○ 相似矩阵有相等的迹 § ∑_(i=1)^n▒a_ii =∑_(i=1)^n▒λ_i =∑_(i=1)^n▒b_ii 20.2 可对角化条件 • 定义：可对角化 ○ 矩阵 A 是否和对角矩阵相似 • 可对角化的意义 ○ (■(1&&@&2&@&&3))^100=(■(1&&@&2^100&@&&3^100 )) ○ 若 A 与 (■(1&&@&2&@&&3)) 相似，则存在 P ○ A^100=P^(−1) (■(1&&@&2&@&&3))P…P^(−1) (■(1&&@&2&@&&3))P=P^(−1) (■(1&&@&2&@&&3))^100 P • 定理1 ○ 内容 § A~Λ=(■(λ_1&&@&⋱&@&&λ_n )) ⇔ A 有 n 个线性无关的特征向量 ○ 证明必要性 § A~Λ=(■(λ_1&&@&⋱&@&&λ_n )) § ∃P s.t. P^(−1) AP=Λ § ⇒AP=PΛ § 设 P=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ) § A((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )(■(λ_1&&@&⋱&@&&λ_n )) § ⇒(A(α_1 ) ⃗,…,A(α_n ) ⃗ )=(λ_1 (α_1 ) ⃗,…,λ_n (α_n ) ⃗ ) § ⇒{█(A(α_1 ) ⃗=λ_1 (α_1 ) ⃗@⋮@A(α_n ) ⃗=λ_1 (α_n ) ⃗ )┤ § 即为特征向量的定义 § 又因为 P 可逆，(α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ 均线性无关 ○ 证明充分性 § 将 A 线性无关的特征向量记为 (α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ § 构造 P=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ) § 下略，只需按证明必要性的步骤倒退即可 ○ 推论 § 如果矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则 A 可对角化 • 定理2 ○ 内容 § 若矩阵的特征方程有重根 § 且重根 λ_i 重数 n_i 等于对应的基础解系中向量个数 § 则矩阵可对角化 § n−r(λ_i I−A)=n_i ○ 证明 § 取自 λ_1 的特征向量记为 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ (s=n_1 ) § 取自 λ_2 的特征向量记为 (β_1 ) ⃗…(β_t ) ⃗ (t=n_2 ) § 构造 k_1 (α_1 ) ⃗+…+k_s (α_s ) ⃗+l_1 (β_1 ) ⃗+…l_t (β_t ) ⃗=0 § 以下使用反证法，证明 k_i=0, l_j=0 § 假设 k_i≠0, l_j≠0 § k_1 (α_1 ) ⃗+…+k_s (α_s ) ⃗=−(l_1 (β_1 ) ⃗+…l_t (β_t ) ⃗ ) § 将上式记为 α ⃗=k_1 (α_1 ) ⃗+…+k_s (α_s ) ⃗=−(l_1 (β_1 ) ⃗+…l_t (β_t ) ⃗ ) § α ⃗=k_1 (α_1 ) ⃗+…+k_s (α_s ) ⃗⇒Aα ⃗=λ_1 α ⃗ § α ⃗=−(l_1 (β_1 ) ⃗+…l_t (β_t ) ⃗ )⇒Aα ⃗=λ_2 α ⃗ § 与 λ_1≠λ_2 矛盾 § 故 k_i=0, l_j=0 • 例题：A=(■8(1&1&−1@−2&4&−2@−2&2&0)) 是否可对角化，并求 A^5 ○ |λI−A|=|■8(λ−1&−1&1@2&λ−4&2@2&−2&λ)|=|■8(λ−1&0&1@2&λ−2&2@2&λ−2&λ)|=(λ−2)|■8(λ−1&0&1@2&1&2@2&1&λ)| ○ =(λ−2)|■8(λ−1&0&1@2&1&2@0&0&λ−2)|=(λ−2)^2 (λ−1)=0 ○ ⇒λ_1=λ_2=2 or λ_3=1 ○ 当 λ_1=λ_2=2 时 § λI−A=(■8(1&1&−1@−2&−2&−2@−2&2&2)) § r(■8(1&−1&1@2&−2&2@2&−2&2))=1 § n−r(λ_i I−A)=n_i⇒可对角化 § (λI−A) α ⃗=(■8(1&1&−1@−2&−2&−2@−2&2&2)) α ⃗=0 § ⇒(α_1 ) ⃗=(■8(1@1@0)),(α_2 ) ⃗=(■8(−1@0@1)) ○ 当 λ_3=1 时 § 解得 α ⃗=(■8(1@2@2)) ○ P=(■8(1&−1&1@1&0&2@0&1&2)), Λ=(■(2&&@&2&@&&1)),且 P^(−1) AP=Λ ○ 即 A=P^(−1) ΛP ○ ⇒A^5=(P^(−1) ΛP)^5=P^(−1) Λ^5 P=P^(−1) (■(32&&@&32&@&&1))P=(■8(−62&94&−62@−62&62&−30@1&31&−31)) 20.3 约当标准形简介 • k阶约当块 ○ 〖J(λ)=(■(λ&1&&@&⋱&⋱&@&&⋱&1@&&&λ))〗_(k×k) • 约当矩阵 ○ J=(■(J(λ_1 )&&&@&J(λ_1 )&&@&&⋱&@&&&J(λ_1 ) )) ○ 试判断 § (■(1&&@&2&@&&3)) 是 § (■8(1&1&0@0&1&0@0&0&2)) 是 § (■8(0&1&0@0&0&1@0&0&0)) 是 § (■8(1&1&0@0&2&0@0&0&3)) 否 § (■8(1&2&0@0&1&0@0&0&2)) 否 ○ 所有三阶约当矩阵的类型 § (■8(λ_1&0&0@0&λ_2&0@0&0&λ_3 ))(■8(λ_1&0&0@0&λ_2&1@0&0&λ_3 ))(■8(λ_1&1&0@0&λ_2&0@0&0&λ_3 ))(■8(λ_1&1&0@0&λ_2&1@0&0&λ_3 )) • 定理 ○ 任意一个矩阵 A_(n×n) 都和约当矩阵相似 ○ 且约当矩阵除约当排块排序外唯一 • 例题 ○ A=(■8(−1&1&0@−4&3&0@1&0&2)) ○ 属于特征值 λ_1=2 的特征向量为 (α_1 ) ⃗=(■8(0@0@1)) ○ 属于特征值 λ_2=λ_3=1 的特征向量为 (α_2 ) ⃗=(■8(1@2@−1)) ○ 由于 λ_2=λ_3=1 的特征向量不等于重数 ○ A 不可对角化，其约当标准形为 (■8(2&0&0@0&1&1@0&0&1))$

第21讲实对称矩阵

$21.1 正交向量组 • 单位化 ○ α ⃗/‖■8(α ⃗ )‖ • 正交（垂直） ○ α ⃗⊥β ⃗⇔a ⃗⋅β ⃗=0⇔α ⃗^T β ⃗=0 • 正交向量组 ○ 向量非零 ○ 两两正交 • 定理 ○ 内容 § 正交向量组线性无关 ○ 证明 § 假设 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 正交 § 构造 k_1 (α_1 ) ⃗+…k_s (α_s ) ⃗=0 § (α_1 ) ⃗ (k_1 (α_1 ) ⃗+…k_s (α_s ) ⃗ )=0 § k_1 (α_1 ) ⃗^2+0+…+0=0 § ∵(α_1 ) ⃗^2≠0 § ∴k_1=0 § 同理 k_i=0 (i=1,2…s) 21.2 施密特正交化 • 两个向量施密特正交化（几何理解） ○ 假设 {(α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗} 施密特正交化得到 {(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗} ○ 则 {█((β_1 ) ⃗=(α_1 ) ⃗@(β_2 ) ⃗=(α_2 ) ⃗−γ ⃗ )┤ ○ ∵(α_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗=‖■8((α_1 ) ⃗ )‖‖■8((α_2 ) ⃗ )‖ cos⁡θ=‖■8((α_1 ) ⃗ )‖‖■8(γ ⃗ )‖ ○ ∴‖■8(γ ⃗ )‖=((α_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗)/‖■8((α_1 ) ⃗ )‖ ○ ⇒■8(γ ⃗ )=‖■8(■8(γ ⃗ ))‖ (α_1 ) ⃗/‖■8((α_1 ) ⃗ )‖ =((α_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗)/‖■8((α_1 ) ⃗ )‖^2 (α_1 ) ⃗=((α_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗)/((α_1 ) ⃗⋅(α_1 ) ⃗ ) (α_1 ) ⃗ ○ {█((β_1 ) ⃗=(α_1 ) ⃗@(β_2 ) ⃗=(α_2 ) ⃗−γ ⃗=(α_2 ) ⃗−((α_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗)/((α_1 ) ⃗⋅(α_1 ) ⃗ ) (α_1 ) ⃗ )┤ ○ ⇒(β_2 ) ⃗=(α_2 ) ⃗−((α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗ ○ 证明 {(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗} 正交 ○ (β_1 ) ⃗⋅(β_2 ) ⃗=(β_1 ) ⃗⋅((α_2 ) ⃗−((α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗ )=(β_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗−(α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗=0 • 施密特正交化过程 ○ 假设 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 线性无关 ○ (β_1 ) ⃗=(α_1 ) ⃗ ○ (β_2 ) ⃗=(α_2 ) ⃗−((α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗ ○ (β_3 ) ⃗=(α_3 ) ⃗−((α_3 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗−((α_3 ) ⃗⋅(β_2 ) ⃗)/((β_2 ) ⃗⋅(β_2 ) ⃗ ) (β_2 ) ⃗ ○ ⋮ ○ (β_i ) ⃗=(α_i ) ⃗−∑_(j=1)^(i−1)▒〖((α_i ) ⃗⋅(β_j ) ⃗)/((β_j ) ⃗⋅(β_j ) ⃗ ) (β_j ) ⃗ 〗 ○ ⋮ ○ (β_s ) ⃗=(α_3 ) ⃗−((α_s ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗…−((α_s ) ⃗⋅(β_(s−1) ) ⃗)/((β_(s−1) ) ⃗⋅(β_(s−1) ) ⃗ ) (β_(s−1) ) ⃗ • (β_i ) ⃗ 前的系数是如何求得的：待定系数法 ○ 以 (β_2 ) ⃗ 为例 § (β_2 ) ⃗=(α_2 ) ⃗−k(β_1 ) ⃗ § ∵(β_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗=(α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗−k(β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗=0 § ∴k=((α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) ○ 以 (β_3 ) ⃗ 为例 § {█((β_3 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗=0@(β_3 ) ⃗⋅(β_2 ) ⃗=0)┤⇒… • 单位正交向量组 ○ 正交化+单位化 • 例：(α_1 ) ⃗=(■8(1@1@1@1)),(α_2 ) ⃗=(■8(3@3@−1@−1)),(α_3 ) ⃗=(■8(−2@0@6@8)) ○ 正交向量组 {(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗,(β_3 ) ⃗} ○ (β_1 ) ⃗=(α_1 ) ⃗=(■8(1@1@1@1)) ○ (β_2 ) ⃗=(α_2 ) ⃗−((α_2 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗=(■8(3@3@−1@−1))−4/4 (■8(1@1@1@1))=(■8(2@2@−2@−2)) ○ (β_3 ) ⃗=(α_3 ) ⃗−((α_3 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗)/((β_1 ) ⃗⋅(β_1 ) ⃗ ) (β_1 ) ⃗−((α_3 ) ⃗⋅(β_2 ) ⃗)/((β_2 ) ⃗⋅(β_2 ) ⃗ ) (β_2 ) ⃗=(■8(−2@0@6@8))−12/4 (■8(1@1@1@1))−(−32)/16 (■8(2@2@−2@−2))=(■8(−1@1@−1@1)) ○ 单位正交向量组 {(γ_1 ) ⃗,(γ_2 ) ⃗,(γ_3 ) ⃗ } ○ (γ_1 ) ⃗=(β_1 ) ⃗/‖■8((β_1 ) ⃗ )‖ =(1/2,1/2,1/2,1/2)^T ○ (γ_2 ) ⃗=(β_2 ) ⃗/‖■8((β_2 ) ⃗ )‖ =(1/2,1/2,−1/2,−1/2)^T ○ (γ_3 ) ⃗=(β_3 ) ⃗/‖■8((β_3 ) ⃗ )‖ =(−1/2,1/2,−1/2,1/2)^T 21.3 正交矩阵 • 定义 ○ 对于实矩阵 Q_(n×n) ○ 若 Q^T Q=I⇔〖QQ〗^T=I⇔Q^T=Q^(−1) ○ 则称其为正交矩阵 • 例子：Q=(■8(cos⁡θ&−sin⁡θ@sin⁡θ&cos⁡θ )) ○ 〖QQ〗^T=(■8(cos⁡θ&−sin⁡θ@sin⁡θ&cos⁡θ ))(■8(cos⁡θ&sin⁡θ@〖−sin〗⁡θ&cos⁡θ ))=(■8(1&0@0&1))=I • 性质1：|Q|=1 or −1⇔|Q|^2=1 ○ 〖QQ〗^T=I ○ ⇒|〖QQ〗^T |=|I| ○ ⇒|Q||Q^T |=|Q|^2=1 ○ ⇒|Q|=1 or −1 • 性质2：若 Q 是正交矩阵，则 Q^T=Q^(−1) 也是正交矩阵 ○ 证明略 • 性质3：若 P,Q 都是正交矩阵，则 PQ 也是正交矩阵 ○ (PQ)^T (PQ)=Q^T P^T PQ=Q^T Q=I • 定理：Q 是正交矩阵 ⇔ 行(列)向量组是单位正交向量组 ○ Q=((α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ) ○ Q^T Q=(■8((α_1 ) ⃗^T@(α_2 ) ⃗^T@⋮@(α_n ) ⃗^T ))((α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )=(■8((α_1 ) ⃗^T (α_1 ) ⃗&(α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗&…&(α_1 ) ⃗^T (α_n ) ⃗@(α_2 ) ⃗^T (α_1 ) ⃗&(α_2 ) ⃗^T (α_1 ) ⃗&…&(α_2 ) ⃗^T (α_n ) ⃗@…&…&…&…@(α_n ) ⃗^T (α_1 ) ⃗&(α_n ) ⃗^T (α_2 ) ⃗&…&(α_n ) ⃗^T (α_n ) ⃗ ))=I ○ ⇒{█((α_i ) ⃗^T (α_j ) ⃗=1 (i=j)@(α_i ) ⃗^T (α_j ) ⃗=0 (i≠j))┤⇒{█(单位@正交)┤ 21.4 实对称矩阵 • 定义 ○ 若矩阵 A=(a_ij )_(n×n)，满足 {█(a_ij∈RA^T=A)┤，则称其为实对称矩阵 • 定理1：实对称矩阵的特征值是实数 ○ 证明略 • 定理2：实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交 ○ 已知 A(α_1 ) ⃗=λ_1 (α_1 ) ⃗, A(α_2 ) ⃗=λ_2 (α_2 ) ⃗ ○ 要证 (α_1 ) ⃗⊥(α_2 ) ⃗⇔(α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗=0⇔(α_1 ) ⃗⋅(α_2 ) ⃗=0 ○ ○ 又因为 (α_1 ) ⃗^T A(α_2 ) ⃗=(α_1 ) ⃗^T A^T (α_2 ) ⃗=(A(α_1 ) ⃗ )^T (α_2 ) ⃗=(λ_1 (α_1 ) ⃗ )^T (α_2 ) ⃗=λ_1 (α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗ ○ 即 λ_1 (α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗=λ_2 (α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗ ○ 又因为 λ_1≠λ_2 ○ 故 (α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗=0 • 定理3：实对称矩阵 A 一定可对角化，且存在正交矩阵 Q，使得 Q^(−1) AQ=Λ ○ 证明略 • 例：A=(■8(2&2&−2@2&5&−4@−2&−4&5)) ○ |λI−A|=|■8(λ−2&−2&2@−2&λ−5&4@2&4&λ−5)|=(λ−1)^2 (λ−10)⇒λ_1=λ_2=1, λ_3=10 ○ 当 λ_1=λ_2=1 时 ○ {█((α_1 ) ⃗=(−2,1,0)^T@(α_2 ) ⃗=(−2,0,1)^T )┤ ⇒┴正交化 {█((β_1 ) ⃗=(−2,1,0)^T@(β_2 ) ⃗=(2/5,4/5,1)^T )┤ ⇒┴单位化 {█((γ_1 ) ⃗=(−2/√5,1/√5,0)^T@(γ_2 ) ⃗=(2/(3√5),4/(3√5),5/(3√5))^T )┤ ○ 当 λ_3=10 时 ○ (α_3 ) ⃗=(1,2,−2)^T ⇒┴单位化 (γ_3 ) ⃗=(1/2,2/3,−2/3)^T ○ 故 Q=(■8(−2/√5&2/(3√5)&1/2@1/√5&4/(3√5)&2/3@0&5/(3√5)&−2/3))$

Shawn Zhong

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