第18讲 合成列（选修） Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第19讲 自由群（选修） Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第20讲 稳定子，中心化， 正规化子 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第21讲 类等式定理 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第22讲 n次对称群 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 1 … 6 7 8 9 10
![合成列 • 简单群 ○ 一个群被称为简单群当且仅当它没有非平凡的正规真子群 ○ 简单群是构成群的最小单位 • 定义 ○ 对于一个群 G ○ G 的合成列是一系列子群 G_i (i≤i≤n) 且满足以下条件 § {e}=G_0⊲G_1⊲G_2⊲⋯⊲G_n=G § G_i \/G_(i−1) 是一个简单群，称为合成因子 • 例1 ○ G=Z\/15={0,1,2,3,…,14} 是一个阿贝尔群 ○ 构造 N=⟨5⟩={0,5,10}，|N|=3 ○ 构造正规子群 G∕N 则|G/N|=|G|/|N| =15/3=5 ○ 考虑 0⊲N⊲G，且 |N/0|=|N|=3, |G/N|=5 均为质数 ○ 故 N\/0 和 G\/N 均为简单群 ○ 所以 0,N,G 是 G 的合成列 • 例2 ○ 令 G=D_6 即二面体群，对应正三角形的三个旋转对称和翻转对称 ○ 令 C_3={旋转 0°,旋转 120°,旋转 240°} ○ 可以得到 {e}⊲C_3⊲D_6 ○ |C_3 |=3, |D_6/C_3 |=6/3=2 均为质数 ○ 所以 C_3, D_6 \/C_3 都是简单群 ○ 故 {e}, C_3,D_6 是 G 的合成列 • 若尔当-赫尔德定理 ○ 命题 § 如果 G 是一个有限群，那么 § G 的合成列存在 § 如果 G 有以下两个合成列，那么 m=n § {e}=N_0⊲N_1⊲⋯⊲N_n=G § {e}=M_0⊲M_1⊲⋯⊲M_m=G § 且存在双射 σ:[n]→[n], σ∈S_n 使得 M_σ(i) \/M_σ(i−1) ≅N_i \/N_(i−1) § 注：[n]={1,2,3,…,n} ○ 证明：G 的合成列存在 § 让 G 为一个有限群，我们对 |G| 进行数学归纳 § 当 |G|=1 时，平凡群的合成列仍为平凡群，无需任何证明 § 归纳步骤：找 G 里的一个最大正规真子群 N，则 |N||G| § 可以对 N 使用归纳假设 § 由群同构第四定理得到 § {e}=N_0⊲N_1⊲⋯⊲N_n=N⊲G 是 G 的合成列 ○ 证明：两个合成列长度一样，并且有一样的合成因子 § 对 min{m,n} 进行数学归纳 § 当 min{m,n}=1 □ G 是一个简单群，此时 m=n=1 □ 且 G 是唯一的合成因子 § 归纳步骤 □ {e}⊲N_1⊲⋯⊲N_(n−1)⊲G □ {e}⊲M_1⊲⋯⊲M_(m−1)⊲G □ 如果 N_(n−1)=M_(m−1)，命题成立 □ 只需考虑 N_(n−1)≠M_(m−1) □ 则 N_(n−1),M_(m−1)⊴N_(n−1) M_(m−1),M_(m−1) N_(n−1)⊴G □ 由群同构第四定理得到 □ N_(n−1),M_(m−1)⊲N_(n−1) M_(m−1),M_(m−1) N_(n−1)=G □ 由群同构第二定理得到 □ N_(n−1) M_(m−1) \/M_(m−1)≅N_(n−1) \/M_(m−1)∩N_(n−1) □ N_(n−1) M_(m−1) \/N_(n−1)≅M_(m−1) \/M_(m−1)∩N_(n−1) □ 定义 M_(m−1)∩N_(n−1)=L 则 □ G\/M_(m−1)≅N_(n−1) \/L □ G\/N_(n−1)≅M_(m−1) \/L □ 找到 L 的合成列 {e}=L_0⊲L_1⊲⋯⊲L_l=L □ 构造以下两个合成列 □ {e}=L_0⊲L_1⊲⋯⊲L_l⊲N_(n−1)⊲G ① □ {e}=L_0⊲L_1⊲⋯⊲L_l⊲M_(m−1)⊲G ② □ 结合之前的两个合成列 □ {e}⊲N_1⊲⋯⊲N_(n−1)⊲G ③ □ {e}⊲M_1⊲⋯⊲M_(m−1)⊲G ④ □ 对 ① 和 ③ 应用归纳假设 □ 得到 ① 和 ③ 长度一样并且合成因子互换位置 □ 同理 ② 和 ④ 长度一样并且合成因子互换位置 □ 故 ③ 和 ④ 长度一样并且合成因子互换位置 □ 原命题即得证](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562b532cb44.png)
![稳定子 • 定义 ○ 令 G↷S, A⊆S ○ 定义 A 的稳定子为 G_A={g∈G|g.a=a, ∀a∈A} ○ 如果 A={a} 我们会记 G_{a} =G_a • 练习 • 练习：G_A≤G (G_a≤G) • 定理：如果 G↷S, A⊆S, g∈G，那么 〖gG〗_A g^(−1)=G_(g.A) ○ 对于任意 h∈G_A ○ （gh�^(−1) ）.(gA)=（gh�^(−1) g）.A=(gh.A=g.(hA)=g.A ○ ⇒〖gG〗_A g^(−1)⊆G_(g.A) ○ 另一方面，令 g=g^(−1), A=g.A ○ 则 〖g^(−1) G〗_(g.A) g⊆G_(g^(−1).(g.A) )=G_A ○ 同时取 g 的共轭，得到 ○ G_(g.A)⊆gG_A g^(−1) ○ 结合两个方向上的包含关系，G_(g.A)=gG_A g^(−1) • 定理 ○ 轨道（复习） § 已知 G↷S, s∈S § O_s={g.s|g∈G} ○ 命题 § O_s 与商集 G\/G_s 有着一一对应 § 特别地，如果 O_s 是一个有限集，那么 |O_s |=|G:G_s | ○ 证明 § 构造 f: G\/G_s→O_s, 〖gG〗_s↦g.s § 首先要证明 f 定义良好 □ 假设 〖gG〗_s=〖h〗_s □ ⇒g^(−1) h∈G_s □ (g^(−1) h.s=s □ g^(−1).(hs)=s □ h.s=g.s □ ⇒f 定义良好 § 证明 f 是双射 □ 显然，f 是满射 □ 只需证明 f 是单射 □ 假设 f(gG_s )=f(h_s ) □ g.s=h.s □ ⇒g^(−1).(g.s)=g^(−1).h.s □ ⇒s=g^(−1).h.s □ ⇒g^(−1) h∈G_s □ ⇒〖h〗_s=〖gG〗_s □ 故 f 是单射 □ 所以 f 是双射 中心化子和正规化子 • 中心化子 ○ 考虑 G 在 G 上的共轭作用 g.h=〖gh�〗^(−1) ○ 令 A⊆G ○ 我们称 G_A 为 A 的中心化子 ○ 记为 C_G (A)={g∈G|∀a∈A, gag^(−1)=a} • 注 ○ gag^(−1)=a⟺ga=ag ○ 即中心化子中的每个元素都和 A 里所有元素交换 • 中心 ○ 特别地，我们将 C_G (G) 记作 Z(G)，称为 G 的中心 • 正规化子 ○ 考虑 G 在 2^G 上的共轭作用 g.S=〖gSg〗^(−1) ○ 令 A⊆G, A∈2^G ○ 我们称 G_A 为 A 的正规化子 ○ 记为 N_G (A)={g∈G|gAg^(−1)=A} • 中心化子和正规化子 ○ 总有 C_G (A)⊆N_G (A) ○ 特别地，当 A={a} 时 ○ C_G ({a})⊆N_G ({a}) • 定理 ○ 我们证明过 O_s 和 G\/G_s 存在一一对应关系 ○ 将这一结论应用到 G↷2^G 可以得到 ○ 对任意 A⊆G, A∈2^G ○ O_A={A 的共轭子集} 和 G\/N_G (A) 存在一一对应关系 ○ 特别地，当 N_G (A) 在 G 中的指数有限时 ○ A 的共轭子集的个数=|G:N_G (A)|∞ ○ 特别地，当 A={a} 时 ○ |[a]|=|G:C_G (a)| • 练习 1 ○ 对于 H≤G ○ N_G (H) 是所有把 H 包含为正规子群的 G 的子群里面最大一个 ○ 即如果 N≤G 并且 H⊴N，那么 N≤N_G (H) • 练习 2 ○ 如果 S⊆G，那么 S⊆C_G (C_G (S))](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562c85271ce.png)
![类等式定理 • 复习 ○ 对于有限群 G，令 a∈G，则 |[a]|=|G:C_G (a)| ○ Z(G)=C_G (G) • 类等式定理 ○ 如果 G 是一个有限群 ○ 从每一个包含元素个数大于 1 的等价类里 ○ 取一个元素 g_i (1≤i≤n) ○ 那么总有 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| • 证明 ○ G=⋃8_(g∈G)▒[g] ○ 已知 g∈Z(G) 当且仅当 |[g]|=1 ○ 故 |Z(G)| 统计了所有 |[g]|=1 的个数 ○ 又知 |G:C_G (g_i )|=|[g_i ]| ○ 故∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| 统计了所有 |[g]|1 的个数 • 推论 ○ 命题 § 如果 |G|=p^m，其中 p 是质数，m≥1 § 那么 |Z(G)|1 即 G 的中心不是平凡子群 ○ 证明 § 由用类等式定理 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| § 观察得到 |G|=p^m 能被 p 整除 § 因为 g_i 不在 G 的中心里，可以证明 G § 事实上若 C_G (g_i )=G 则 g_i∈Z(G) § 根据拉格朗日定理，|G:C_G (g_i )| 能被 p 整除 § 等式 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| 中 § |G|, ∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| 均能被 p 整除 § 所以 |Z(G)| 也必须能被 p 整除 § 故 |Z(G)|1](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562d1e1e36c.png)
![置换与 n 次对称群 • 定义 ○ 令 [n]={1,2,…,n} ○ 定义 S_n={所有从 [n] 到 [n] 的双射} ○ 则 (S_n,∘) 是一个群，叫做 n 次对称群 ○ 对于 σ∈S_n，我们可以表示为 ○ (■8(1&2&3&…&n@↓&↓&↓&…&↓@σ(1)&σ(2)&σ(3)&…&σ(n) )) ○ S_n 的元素也被称为置换 ○ 所以 n 次对称群也被称为 n 次置换群 • 凯莱定理 ○ 命题 § 对于任意有限群 G § 存在正整数 n 使得 G 同构与 S_n 的一个子群 ○ 证明 § 可以找到一个双射 f:G→[|G|] § 定义 F:G→S_[|G|] , g↦f∘λ_g∘f^(−1) § 可以证明 F 是一个同态 § 根据群同构第一定理 § F(G)≤S_[|G|] § G\/kerf≅F(G) § 足够证明 kerf=[e] § 假设 g∈kerf，即 ∀x, f∘λ_g∘f^(−1)=x § ⟺λ_g 是恒等映射 § ⇒g=e § 故 kerf=[e] 轮换与对换 • 定义 ○ 在 [n] 中选 m 个不同的元素，m≤n ○ 选定 a_1,a_2,…,a_m ○ 定义 σ=(a_1 a_2 … a_m ) 为一个轮换，若 ○ σ(a_1 )=a_2, σ(a_2 )=a_3,…,σ(a_m )=a_1 ○ 特别地，当 σ=(a b) 时，我们称其为对换 • 例子 ○ 以 [4]={1,2,3,4} 为例 ○ 令轮换 σ=(1 2 3)，则有 ○ σ(1)=2, σ(2)=3, σ(3)=1, σ(4)=4 ○ 令对换 τ=(2 4)，则有 ○ τ(1)=1, τ(2)=4, τ(3)=3, τ(4)=1 • 阶 ○ 轮换 σ=(a_1 a_2 … a_m ) 的阶为 m ○ 对换 τ=(a b) 的阶为 2 • 定理 ○ 如果 σ=(a_1 a_2 … a_m ), τ=(b_1 b_2…b_l ) ○ 并且 a_i≠b_j ∀1≤i≤m,1≤j≤m ○ 那么 σ 与 τ 交换，即 στ=τσ • 定理：每一个置换都可以写成轮换的乘积 ○ 让 σ∈S_n ○ 考虑 H=⟨σ⟩↷[n]，并把 n 分为若干个轨道 ○ 则每一个轨道都对应着一个轮换 σ_i ○ 则 σ=σ_1 σ_2…σ_k • 推论 ○ 如果 σ=(a_1 a_2…a_m )(b_1 b_2…b_l )…(c_1 c_2…c_k ) ○ 则 σ 的阶是 m,l,…,k 的最小公倍数 • 定理：每个轮换都是对换的乘积 ○ (a_1 a_2…a_k )=(a_1 a_k )(a_1 a_(k−1) )…(a_1 a_2 ) • 推论：每个置换都是对换的乘积 ○ 因为每一个置换都可以写成轮换的乘积 ○ 且每个轮换都是对换的乘积 符号 • 定义 ○ 定义 Δ=∏8_(i≤ij≤n)▒(x_i−x_j ) ○ 对于 σ∈S_n 定义 σΔ=∏8_(i≤ij≤n)▒(x_σ(i) −x_σ(j) ) ○ 观察 Δ, σΔ 发现每一对 x_i,x_j 都会出现在两式中 ○ 只是减法的顺序可能会不同 ○ 我们将 σΔ/Δ 定义为 σ 的符号，记为sgnσ=σΔ/Δ • 练习 ○ 若 σ,τ∈S_n 是两个置换，那么 sgnσ⋅sgnτ=sgn(στ) ○ 证明 ({±1},×) 形成一个群 • 符号映射 ○ sgn 是一个从 S_n 到 {±1} 的群同态，又叫做符号映射 • 奇置换与偶置换 ○ 我们称 sgn=1 的置换为偶置换 ○ 我们称 sgn=−1 的置换为奇置换 • n 次交错群 ○ 我们把 A_n={偶置换}⊲S_n 叫做 n 次交错群 ○ 且有 |S_n:A_n |=2 • 练习 ○ 所有的对换都是奇置换 ○ 一个轮换 (a_1 a_2…a_k ) 是一个偶置换当且仅当 k 是奇数 相邻对换 • 定义 ○ 对于 1≤in−1 ○ 定义对换 s_i=(i (i+1)) 为相邻对换 • 练习：证明相邻对换的以下性质 ○ s_i^2=e ○ s_i s_(i+1 ) s_i=s_(i+1 ) ss_(i+1) ○ 如果 |i−j|≥2，那么 s_i s_j=s_j s_i • 定理：任何置换 σ∈S_n 都可以写成相邻对换的乘积 ○ 足够证明对于 σ 是对换时成立 ○ 考虑对换 (i j)，不失一般性地，假设 ij ○ 则 (i j)=s_i s_(i+1)…s_(j−3) s_(j−2) s_(j−1) s_(j−2) s_(j−3)…s_(i+1) s_i • 相邻对换分解 ○ 对于置换 σ∈S_n ○ 将 σ 写成 σ=s_(i_1 ) s_(i_2 )…s_(i_m ) 称作相邻对换分解 • 长度 ○ 定义 σ 的长度为它所有相邻对换分解的最短长度，记为 l(σ) ○ 特别地，l(e)=0 • 定理：定义 L(σ)={(i,j)│ ij 并且 σ(i)σ(j) }，则 l(σ)=|L(σ)| ○ L(e)=∅ 所以命题对 e 恒成立 ○ 假设 σ 为非恒等元素 ○ 考虑 L(σs_i ) 作用在 [n] 上 ○ (■8(1&2&3&…&i&i+1&…&n@↓&↓&↓&…&↓&↓&…&↓@1&2&3&…&i+1&i&…&n@↓&↓&↓&…&↓&↓&…&↓@σ(1)&σ(2)&σ(3)&…&σ(i+1)&σ(i)&…&σ(n) )) ○ 则 |L(σs_i )|=|L(σ)|=±1 ○ 取 σ 最短的相邻对换分解 σ=s_(i_1 ) s_(i_2 )…s_(i_L(σ) ) ○ 则 e=s_(i_1 ) s_(i_2 )…s_(i_L(σ) ) s_(i_L(σ) )…s_(i_2 ) s_(i_1 ) ○ 所以 L(σ)≤l(σ) ○ 现在只需证明另一个不等方向 ○ 因为 σ 是非恒等映射 ○ 故存在 i∈[n] 使得 σ(i)σ(i+1) ○ |L(σs_i )|=|L(σ)|−1 ○ 所以我们可以右乘 |L(σ)| 个相邻对换使得 σ 变回 e ○ σ(s_(i_1 ) s_(i_2 )…s_(i_L(σ) ) )=e ○ ⇒σ 可以写成 |L(σ)| 个相邻对换的乘积 ○ ⇒l(σ)≤L(σ) ○ 命题得证](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562d9eda63f.png)
