第20讲 相似矩阵与矩阵对角化 Jul 10, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第21讲 实对称矩阵 Jul 12, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第22讲 二次型 Jul 13, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第23讲 正定二次型 Jul 13, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第24讲 线性空间(一) Jul 13, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 1 … 3 4 5 6
![24.1 线性空间的定义 • 线性空间最一般的定义 ○ 非空集合 V 和 数域 P (一般为R ○ 可定义加法（对加法封闭） § α, β∈V⇒α+β∈V ○ 可定义数乘（对数乘封闭） § α∈V,k∈P⇒kα∈V ○ 八条性质 1. α+β=β+α 2. (α+β)+γ=α+(β+γ) 3. α+(−α)=0 4. α+0=α 5. (kl)α=k(lα) 6. (k+l)α=kα+lα 7. k(α+β)=kα+kβ 8. 1α=α • 进一步的性质 ○ 消去律：α+β=α+γ⇒β=γ § α+β=α+γ § −α+α+β=−α+α+γ § β=γ ○ 零向量唯一 § 假设由两个零向量 0_1 和 0_2 § 则 0_1+0_2=0_1=0_2 § 故零向量唯一 ○ 负向量唯一 § 假设 α+β=0, α+γ=0 § 法一：消去率 § 法二：β=β+0=β+α+γ=0+γ=γ ○ 0α=0 ⃗ § α+0α=(1+0)α=α+0 ⃗ § 根据消去率有 0α=0 ⃗ ○ k0 ⃗=0 ⃗ § k0 ⃗+kα=k(0 ⃗+α)=kα+0 ⃗ § 根据消去率有 k0 ⃗=0 ⃗ ○ (−1)α=−α § (−1)α+α=(−1+1)α=0α=0 ⃗ § 又因为负向量唯一，故 (−1)α=−α ○ kα=0⇒k=0 or a=0 ⃗ § 若 k≠0，则 k^(−1) (kα)=1α=α=0 24.2 维数、基与坐标 • 维数 (dimension) ○ 若 V 中最多有 n 个线性无关的向量 ○ 则称线性空间 V 的维数为 n ○ 记作 dim(V)=n ○ 注 § dim(Rn )=n § 所有 deg≤n 的多项式 R_n [x] 的维数为 n+1 § 所有多项式 R[x] 不在线性空间的讨论范围 • 基 (basis) ○ n 维线性空间内 n 个线性无关的向量（不唯一） • 坐标 (coordinate) ○ 若 (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 为一组基 ○ 则 α ⃗, (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 一定线性相关 ○ 即 α ⃗=k_1 (e_1 ) ⃗+…k_n (e_n ) ⃗ ○ 且 k_1…k_n 唯一 ○ 我们将 (k_1…k_n) 称作坐标 • 例子 ○ ℂ 可以看作是 R 上的线性空间 § 基为 1 和 i § α ⃗=1a+bi∈ℂ (a,b∈R) ○ ℂ 可以看作是 ℂ 上的线性空间 § 基为 1 § α ⃗=1α ⃗∈ℂ (α ⃗∈ℂ) ○ Rn 最常用的一组基为 § (e_1 ) ⃗=(1,0,0…0)^T § (e_2 ) ⃗=(0,1,0…0)^T § ⋮ § (e_n ) ⃗=(0,0,0…1)^T ○ R_n [x] 最常用的一组基为 § 1,x, x^2, x^3…x^n 24.3 线性子空间 • 定义 ○ V 是线性空间，W⊂V ○ 若 W 对于加法、数乘也构成线性空间， • 定理 ○ 若 W⊂V 且 W 对加法、数乘封闭，则 W 为子空间 • 平凡子空间 ○ V ○ {0 ⃗ } • 常用子空间的例子 ○ R_n [x] 是 R[x] 的子空间 ○ Ax ⃗=0 的解集 § 记为 N(A) ，又称零空间 (null space) § 基为基础解系 § 维数为 n−r(A) ○ 生成空间 § 由 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 生成的空间 § {k_1 (α_1 ) ⃗+…+k_s (α_s ) ⃗ ┤| k_1…k_s∈R} § 记为 L((α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗)](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2017/08/img_598740cd1cb23.png)
